Una unidad en $\mathbb{Z}_{9}[x]$

Question

Demuestra que $1+3x$ es una unidad en $\mathbb Z_9[x]$ . Por lo tanto, el corolario 4.5 puede ser falso si $R$ no es un dominio integral.

El corolario 4.5 es

Dejemos que $R$ sea un dominio integral y $f(x) \in R[x]$ . Entonces $f(x)$ es una unidad en $R[x]$ si y sólo si $f(x)$ es un polinomio constante que es una unidad en $R$ . En particular, si $F$ es un campo, las unidades en $F[x]$ son las constantes no nulas en $F$ .

El mayor problema que estoy teniendo es encontrar cómo lo que significa ser una unidad en $\mathbb{Z}_{9}[x]$ . Si lo supiera, creo que podría resolverlo a partir de ahí.

Answer 1

Una unidad de un anillo (conmutativo) $R$ es un elemento $u \in R$ tal que existe $v \in R$ tal que $$uv = vu = 1$$

De manera informal, las unidades de $R$ son los elementos invertibles de $R$ bajo la operación de multiplicación. Teniendo esto en cuenta, una pista es: considerar $1+6X \in (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[X]$ .

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que el corolario que cita requiere $R$ para ser un dominio integral, que es no el caso aquí. $\mathbb Z_9$ tiene un divisor de cero ( $3 \cdot 3=0$ ).

Ser una unidad es lo mismo que tener una inversa.

Así que debería existir algún polinomio $g(x) \in \mathbb Z_9[x]$ tal que $(1+3x)g(x)=1$ .

Intenta escribir lo que significa y encuentra este polinomio.

Answer 3

Se quiere encontrar un polinomio que al ser multiplicado por $1+3x$ da $1$ módulo 9.

Puedes intentar adivinar con algo sencillo: $a+bx$ . Así que quieres $(1+3x)(a+bx)\equiv1$ módulo 9.

Multiplique esto y obtendrá algunas ecuaciones para $a$ y $b$ módulo 9. Es posible que en este punto puedas adivinar $a$ y $b$ .

Answer 4

Así es como yo daría una solución.

Formalmente $$\frac{1}{1+3x}=\frac{1}{1-(-3x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-3x)^n=1+(-3x)+9x^2-27x^3\dots=1-3x$$ cuando $9$ se pone a cero. Es relativamente fácil demostrar que dicha lógica siempre funcionará en casos como éste (cuando el primer coeficiente es una unidad y el resto son nilpotentes) y mostrar la caracterización más general de las unidades de los anillos polinómicos (véase el primer par de ejercicios de Atiyah-Macdonald) puede hacerse utilizando un argumento similar.

Answer 5

$(1+3x)(1-3x) = 1-9x^2$ . Usando la congruencia mod 9 y está hecho