¿Por qué la aceleración máxima debe producirse en los extremos de un movimiento armónico simple?

Question

Descripción del diagrama con las palabras exactas de mi libro de texto:

"La siguiente gráfica aceleración-tiempo muestra el movimiento de una partícula con un desplazamiento inicial en el centro del movimiento donde la aceleración es cero".

Luego añade:

"La aceleración máxima se produce en los extremos del movimiento"

¿Qué quiere decir con "puntos extremos", se refiere a los puntos finales? Supongo que sí, $t=0$ y $t=T$ ?

Answer 1

Un movimiento armónico $t\mapsto x(t)$ se caracteriza por la EDO $$\ddot x(t)\equiv-\omega^2 x(t)\ .\tag{1}$$ Esta ecuación resulta de la idea de que la fuerza de repulsión es proporcional a la desviación $|x(t)|$ del punto de equivalencia, y la ley de Newton que conecta la fuerza con la aceleración resultante. Inspección de $(1)$ se ve inmediatamente que la aceleración $\ddot x(t)$ es mínimo (lo más negativo posible) en los momentos $t$ donde la desviación $x(t)$ es máxima (es decir, en el extremo superior), y es máxima posible, cuando la desviación es mínima (es decir, en el extremo inferior).

Answer 2

El desplazamiento (amplitud ) y la aceleración máximos se producen en los extremos del desplazamiento, es decir, la amplitud máxima/mínima donde la velocidad es cero, es decir, en $t= T/4, 3 T/4$

También podemos trazar una dinámica de movimiento armónico simple entre la velocidad y la aceleración para ver en la elipse los extremos de los ejes mayor/menor donde se producen los máximos/minimos.

$$ \big(\dfrac{\dot x}{v_{max}} \big)^2+\big(\dfrac{\ddot x} {v_{max}^2/A} \big)^2= 1 $$

donde

$$v_{max,min} = \pm \omega A;\; Accln_{max,min} = \pm \omega^2 A $$

Answer 3

Este es el gráfico de la aceleración frente al tiempo. Así que en el eje Y está el valor de la aceleración. Para los valores máximos/mínimos hay que mirar los valores máximos de la gráfica. Pero tú estás mirando la pendiente de la gráfica aceleración-tiempo.

Answer 4

La respuesta física es que si el oscilador debe ser arrastrado con más fuerza exactamente cuando se encuentra en el punto más alejado del equilibrio. Si no es así, ¿dónde crees que la atracción sería mayor?

Desde una perspectiva puramente matemática, la ecuación de un oscilador tiene la forma

$$ \ddot{x} = -\kappa x$$

esto sugiere que, la aceleración es directamente una función del lugar donde se encuentra la partícula, por lo que el primer argumento que dije podría convertirse fácilmente en el argumento que utiliza las ecuaciones con sólo reemplazar algunas palabras.