Preguntas sobre la función generadora de momentos con dos distribuciones

Question

Supongamos que $X_1,X_2,\dots,X_n$ son independientes, cada una con una distribución exponencial con parámetro $\lambda$ y $N$ tiene una distribución de Poisson ( $\lambda$ ) y es independiente de $X_is$

a) Determine la función generadora de momentos $S_N= X_1 + X_2+\dots+X_N$ .

b) Utiliza tu respuesta en (a) para encontrar la media de $S_N$ .

c) Encuentre la distribución $Y= \sum_{i=1}^n 2\lambda X_i$ identificar la distribución de $Y$ por nombre y especificar todos los valores de los parámetros.

Sólo puedo sospechar que esta pregunta tiene mucho que ver con la función generadora de momentos de la distribución Gamma. Necesito ayuda seria en este tipo de preguntas, cualquier ayuda es realmente apreciada

Answer 1

Como sugiere pedrosuavo, la clave aquí es la expectativa condicional; y, más concretamente, la fórmula $$\tag{1} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}\E\bigl[\E[e^{tS_N}\mid N]\bigr]=\E[e^{tS_N}]. $$ Conicidido en $N=n$ , $S_N$ se distribuye como $S_n$ para que $$ \E[e^{tS_N}\mid N=n]=\E[e^{tS_n}\mid N=n]=\E[e^{tS_n}], $$ desde $S_n$ y $N$ son independientes. Pero, como $X_1,\ldots,X_n$ son independientes e idénticamente distribuidos, tenemos $$ \E[e^{tS_n}]=\E[e^{tX_1}\cdots e^{tX_n}]=\prod_{i=1}^{n}\E[e^{tX_i}]=(\E[e^{tX_1}])^n $$ proporcionó $n\geq 1$ . En este caso, sabemos que $$ \E[e^{tX_1}]=\int_0^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}e^{tx}\,dx. $$ Así, la función $t\mapsto \E[e^{tX_1}]$ tiene dominio $t\in(-\infty,\lambda)$ y para ello $t$ tenemos $\E[e^{tX_1}]=\frac{\lambda}{\lambda-t}$ .

Así, para $n\geq 1$ y $t<\lambda$ tenemos $$ \E[e^{tS_N}\mid N=n]=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^n. $$ ¿Qué pasa cuando $n=0$ ? Tenemos $S_0=0$ para que $\E[e^{tS_0}]=1=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^0$ .

Así, volviendo a la fórmula (1), tenemos que para $t<\lambda$ , $$ \begin{align} \E[e^{tS_N}]&=\sum_{n=0}^{\infty}\E[e^{tS_N}\mid N=n]\cdot P(N=n)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^n\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}\\ &=\exp\left[\frac{t\lambda}{\lambda-t}\right]. \end{align} $$ Basándonos en esto, podemos calcular $\E[S_N]$ ; si $\phi(x)$ es el MGF para $S_N$ entonces sabemos que $\E[S_N]=\phi'(0)=1$ .

(Convenientemente, esto coincide con nuestra idea heurística de que $\E[S_N]$ debería ser algo así como $\E[N]\cdot\E[X_i]=\lambda\cdot\lambda^{-1}$ .)