Posibles erratas en la Topología General de Nicolas Bourbaki -I, Capítulo 1 Ejercicio 2 ?

Question

Este es el texto del ejercicio:

2 a) Que $X$ ser un ordenado conjunto. Demuestre que el conjunto de intervalos

$\left[x, \rightarrow\right[$ (resp. $\left]\leftarrow, x\right]$ )

es una base de topología en $X$ Esta topología se denomina a la derecha (resp. a la izquierda ) la topología de $X$ . En la topología correcta, cualquier intersección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, y el cierre de $\{x\}$ es el intervalo $\left]\leftarrow, x\right] $ .

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El anterior era de la edición inglesa. He traducido la edición francesa y he encontrado el mismo texto.

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No debe ser $X$ a totalmente ¿conjunto ordenado? ¿Y no es que el conjunto de intervalos debe ser $\left]x, \rightarrow\right[$ en lugar de $\left[x, \rightarrow\right[$ ?

¿Se trata de una errata?

Answer 1

Bourbaki tenía razón :-)   Por otro lado, dejemos que   $(X\ \le)$   sea un conjunto parcialmente ordenado. En general, la familia

$$\mathbf B\ \ :=\ \ \{\ ]x,\rightarrow[\ :\ x\in X\ \}$$

NO es una base topológica para cualquier topología en   $X$ .   Una razón es trivial: ningún elemento mínimo pertenece a ningún miembro de   $B$ por lo que si hay algún elemento mínimo, entonces   $X$   no estaría abierto.

De acuerdo, se podría definir:

$$\mathbf B\ \ :=\ \ \{X\}\ \cup\ \{\ ]x,\rightarrow[\ :\ x\in X\ \}$$

No servirá de nada. De hecho, aquí hay una caracterización de una base topológica:

TEOREMA   Una familia   $\mathbf B$   de subconjuntos de   $X$   es una base topológica para una topología en   $X\quad\Leftrightarrow$   se cumplen las dos condiciones siguientes:

•   $\bigcup \mathbf B\ =\ X$

•   $\forall_{G\ H\in\mathbf B}\quad G\cap H\ =\ \bigcup\ \{K\in \mathbf B : K\subseteq G\cap H\} $

Consideremos ahora un conjunto de 5 elementos

$$X := \{b\ \ d\ \ A\ \ C\ \ E\}$$

donde por definición hay exactamente cuatro desigualdades agudas   $b < A$   &   $b < C$   &   $d < C$   &   $d < E$ .   Entonces la intersección

$$ ]b,\rightarrow[\ \ \cap\ \ ]d,\rightarrow[\quad=\quad \{ C \} $$

no es la unión de ninguna familia de rayos abiertos   $ ]x,\rightarrow[ $ .

Answer 2

Digamos que tenemos un conjunto parcialmente ordenado. ¿De qué duda? (1) El conjunto de intervalos $\left[x,\rightarrow\right[$ es una base para una topología. (2) Toda intersección de conjuntos abiertos es abierta. (3) El cierre de $\{x\}$ es $\left]\leftarrow,x\right]$ . Todos me parecen bien...