¿Se cumple la siguiente desigualdad integral?

Question

Para cualquier matriz cuadrada, simétrica y definida positiva $M\in\Re^{m\times{m}}$ , un escalar $\gamma$ y una función de valor vectorial $\omega:[0,\gamma]\to\Re^{m}$ tal que la siguiente desigualdad se cumple \begin{equation}\label{eq:1} \gamma\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~{d\beta}\geq\Big(\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta\Big)^{T}~M~\Big(\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta\Big). \tag{1} \end{equation}

Para demostrar que la afirmación es cierta, utilizo el complemento de Schur como sigue. La matriz

\begin{equation} H(\beta)=\begin{bmatrix}{\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)} & \omega^{T}(\beta)\\\omega(\beta) & M^{-1}\end{bmatrix}\geq{0} , \fin

desde $M>{0}$ implica $M^{-1}>{0}$ y también $\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)-\omega^{T}(\beta)(M^{-1})^{-1}\omega(\beta)=0$ . Esto demuestra por qué $H\geq{0}$ . Ahora tomando la integral de $H$ dentro del intervalo $[0,\gamma]$ resultados

$G(\gamma)=\int_{0}^{\gamma}H(\beta)~d\beta=\begin{bmatrix}{\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)}~d\beta & \int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~d\beta\\\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta & {\gamma}M^{-1}\end{bmatrix}\geq{0}$ .

Tras aplicar de nuevo el complemento de schur en $G(\gamma)$ produce

$\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~d\beta~-~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~d\beta~\big[\dfrac{1}{\gamma}M\big]~\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta\geq{0}$

de la que se deriva la desigualdad \eqref{eq:1}. Sin embargo, me interesa saber si la desigualdad \eqref{eq:1} es válida para una semidefinida positiva $M$ . En lugar de $M^{-1}$ Estoy usando la pseudoinversión de Moore Penrose $M^{+}$ en la expresión para $H(\beta)$ . No estoy muy seguro de si este es el camino que debo seguir para solucionar el problema, por lo que cualquier sugerencia al respecto será muy apreciada.

Answer 1

Creo que he descubierto una solución y corregidme si me equivoco en la derivación expuesta a continuación. Una matriz semidefinida positiva $M\in\Re^{n\times{n}}$ puede expresarse como $M=J*D_{M}*J^{T}$ , donde $J^{T}=J^{-1}$ y $D_{M}$ es una matriz diagonal con todos los valores propios de $M$ en su diagonal.

$\gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~d\beta=\gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~J*D_{M}*J^{T}~\omega(\beta)~d\beta$ .

Tomemos una función de valor vectorial $\omega^{*}(\beta)=J^{T}~\omega(\beta)$ y reescribir la ecuación anterior como

$ \gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~d\beta=\gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{*^T}(\beta)~D_{M}~\omega^{*}(\beta)~d\beta~\tag{1} $

Toma $\omega^{*}(\beta)=\begin{bmatrix}\omega^{*}_{1}(\beta)\\\omega^{*}_{2}(\beta)\\\vdots\\\omega^{*}_{n}(\beta)\end{bmatrix}$ y $D_{M}=diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{r},0,\cdots,0)$

con $M$ que se supone que tiene $(n-r)$ valores propios cero, es decir $\lambda_{i}=0$ , para $i=r+1,r+2,\cdots,n$ . Entonces la ecuación (1) da

\begin{equation}{\label{eq:2}} \gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~d\beta=\gamma~\int_{0}^{\gamma}\Big[\sum_{i=0}^{r}\lambda_{i}\omega^{*^T}_{i}(\beta)~\omega^{*}_{i}(\beta)\Big]~d\beta\tag{2}. \end{equation}

Como $\gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{*^T}_{i}(\beta)~\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta~\geq~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta\Big]^{T}\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta\Big]$ (procedimiento dado en la pregunta), la ecuación \eqref{eq:2} da como resultado

\begin{equation}{\label{eq:3}} \begin{aligned} &\gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~d\beta\geq\\ &\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta\Big]^T~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta\Big]\\ & =\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta\Big]^T~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{i}(\beta)~d\beta\Big]\\ & =\begin{bmatrix}\int_{0}^{\gamma}\omega^{*^T}_{1}(\beta)~d\beta,\cdots,\int_{0}^{\gamma}\omega^{*^T}_{n}(\beta)~d\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0\\\c0 & \lambda_{2} & 0 & \cdots & 0\\dvdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\\\\c0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}end{bmatrix} \begin{bmatrix}\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{1}(\beta)~d\beta\\\vdots\\\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}_{n}(\beta)~d\beta\end{bmatrix}\\ & =\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*^T}(\beta)~d\beta\Big]~D_{M}~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{*}(\beta)~d\beta\Big]\\ & =\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~d\beta\Big]~J*D_{M}*J^T~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta\Big]\\ & =\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~d\beta\Big]~M~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta\Big]. \end{aligned} \end{equation}

Por lo tanto, $\gamma~\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~M~\omega(\beta)~d\beta\geq\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega^{T}(\beta)~d\beta\Big]~M~\Big[\int_{0}^{\gamma}\omega(\beta)~d\beta\Big]$ .