Axioma de la regularidad y Axioma del infinito

Question

El axioma del infinito afirma la existencia del conjunto:
$N=\{$
$\emptyset ,$
$\{ \emptyset \},$
$\{\{ \emptyset \}, \{\{ \emptyset \}\}\},$
$\{\{\{ \emptyset \},\{\{ \emptyset \}\}\}, \{\{\{ \emptyset \}, \{\{ \emptyset \}\}\}\}\},$
$ ... \}$
de hecho son los números naturales. Además, el axioma de regularidad establece que para todo conjunto no vacío x, x contiene un miembro y que es disjunta de x.

Mi pregunta es, ¿cuál es la y para $N$ ?

Answer 1

El correspondiente $y$ es $\emptyset$ .

Tenemos $\emptyset\in \mathbb{N}$ - se incluye explícitamente - pero de forma trivial $\emptyset\cap\mathbb{N}=\emptyset$ . De hecho, de forma más general tenemos:

$(*)\quad$ Si $\emptyset \in A$ entonces $\emptyset$ es un elemento de $A$ disjuntos de $A$ como exige la regularidad.

Algo así como $\{\emptyset\}$ sería no trabajo: tenemos $$\{\emptyset\}\cap\mathbb{N}=\{\emptyset\}\not=\emptyset$$ desde $\emptyset\in\mathbb{N}$ . De hecho, $\emptyset$ es el sólo elección de $y$ que funciona.

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Por cierto, vale la pena meditar sobre $(*)$ por un tiempo.

Supongamos que $A$ eran un contraejemplo a la regularidad. Bien, entonces por $(*)$ debemos tener $\emptyset\not\in A$ (de lo contrario, la configuración $y=\emptyset$ mostraría que $A$ no es un contraejemplo de regularidad).

Vale, pero entonces tenemos que tener $\{\emptyset\}\not\in A$ o bien: si $\{\emptyset\}\in A$ entonces tendríamos $\{\emptyset\}\cap A=\emptyset$ ya que por la frase anterior sabemos que $\emptyset\not\in A$ .

Del mismo modo, esto nos dice entonces que $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\not\in A$ . Y así sucesivamente: podemos seguir "subiendo" para demostrar que $A$ no puede tener ningún elemento que "pueda construirse a partir de $\emptyset$ ."

Y en eso consiste exactamente la regularidad : en un sentido preciso, la regularidad dice que "todo conjunto puede construirse a partir del conjunto vacío".

(Ese sentido preciso es el siguiente. Por sustitución, podemos iterar Powerset a través de los ordinales: obtenemos para cada ordinal $\alpha$ un conjunto $V_\alpha$ tal que $V_0=\emptyset$ , $V_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}V_\alpha$ para $\lambda$ límite, y $V_{\alpha+1}=\mathcal{P}(V_\alpha)$ . Sobre ZF-Regularidad, el axioma de regularidad es equivalente a "Todo conjunto está en algún $V_\alpha$ .")