Demostración de que una secuencia que contiene funciones indicadoras converge a.s.

Question

Dejemos que $f_{n}(x) = n1_{[0,1/n]}(x)$ , donde $f_{n}$ mapea R con la sigma-álgebra de Borel a sí misma. Además, dejemos que $\Omega = [0,1]$ su sigma-álgebra es el conjunto de Borel en [0,1], y $P(dx)=dx$ . Demuestre que el lim de $f_{n} = 0$ casi seguramente como $n \to \infty$ .

Tiene sentido intuitivamente, porque a medida que n se hace muy grande, el intervalo [0,1/n] se hace muy pequeño. Por lo tanto, la probabilidad de que cualquier x esté en un intervalo tan pequeño también se reducirá. Sin embargo, no sé cómo expresar esto matemáticamente.

Cualquier ayuda que pueda proporcionarnos será de gran ayuda y muy apreciada.

Answer 1

Podemos demostrar que $f_n(x)\to 0$ para todos $x\in [0,1]\setminus \{0\}$ (ya que $\{0\}$ tiene $0$ medida esto hará el trabajo). Tome $x\gt 0$ . ¿Qué es? $f_n(x)$ para $n\geqslant 1/x+1$ ? Esto da como resultado que para un $x$ se puede encontrar un número entero $N(x)$ tal que $f_n(x)=0$ si $n\geqslant N(x)$ Por lo tanto $f_n(x)\to 0$ para cada $x\neq 0$ .