determinar si la secuencia $f_{n}(x) = n x e^{-nx}$ converge uniformemente en el conjunto [0,1]

Question

Determinar si la secuencia $f_{n}(x) = n x e^{-nx}$ converge uniformemente en el conjunto [0,1].

Mi juicio:

El límite puntual es cero por la regla de L`hopitals , pero entonces cómo puedo encontrar N para que $|nxe^{-nx}| < \epsilon$

Answer 1

Sugerencia : Encuentre el valor máximo de $f_n(x)$ en $[0,1]$ . ¿Se acerca a $0$ como $n\to\infty$ ?

Answer 2

Supongamos que $f_n(x)$ converge uniformemente a la función cero. Entonces, dado $\varepsilon \gt 0 $ existe $n_0\in \Bbb N $ tal que $|f_n(x)-0|<\varepsilon$ para todos $n\geq n_0$ y $x\in [0,1]$ . Tenga en cuenta que $$f_n\left(\frac1n\right)=\frac1e .$$ ¿Puede encontrar ahora un $\varepsilon$ lo que contradice nuestra suposición?