Pregunta sobre la función cóncava simple

Question

Supongamos que tenemos una función $f:[0,\infty)\longrightarrow [0,\infty)$ que es cóncava y $a > b>0$ . Entonces, dada una constante $c>0$ Afirmo que $f(a+c) - f(a) \le f(b+c) - f(b)$ .

Si hago un dibujo, esta afirmación parece obvia, pero no consigo encontrar una prueba sencilla que demuestre que esto es así.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Una pista: Por un lado su desigualdad es la misma que $\frac{f(a+c)-f(a)}{c} \leqslant \frac{f(b+c)-f(b)}{c}$ y por otro lado, si la función cóncava tiene segunda derivada, entonces es no positiva, es decir, la primera derivada no es creciente.

Adición . En un caso más general, sin derivadas, la definición de concavidad la podemos reescribir para cualquier $x_1<x<x_2$ como $\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \geqslant \frac{f(x)-f(x_2)}{x_2-x}$ .