Para los continuos invertibles $f$ cuántas discontinuidades pueden $f^{-1}$ ¿admitir?

Question

La inversa de una función continua no tiene por qué ser continua. Un ejemplo canónico es $f:[0,2\pi)\rightarrow S^1$ , donde $S^1$ es el círculo unitario en $\mathbb{R}^2$ y $$f(\theta)=(\sin\theta,\cos\theta).$$

Podemos correr con esta construcción para añadir más discontinuidades a la inversa de una función continua.

Por ejemplo, consideremos una función $g:[0,2\pi)\rightarrow \mathbb{R}^{2n}$ , $n\in \mathbb{N}$ , definida por: $$g(\theta)=(\sin\theta,\cos\theta,\sin2\theta,\cos2\theta,...,\sin P_{n}\theta,\cos P_{n}\theta)$$ donde $P_{n}$ es el $n$ número primo.

Pero, ¿es posible ir más allá?

Esto me lleva a mi pregunta:

¿Es posible construir una función continua invertible cuya inversa contenga incontables discontinuidades?

Mi instinto me dice que no, pero puede que me equivoque, y no tengo mucha idea de cómo ir a demostrarlo. Mi única idea era tratar de descomponer $f^{-1}$ en un conjunto de intervalos en los que la inversa es CADLAG o CAGLAD. Pero no estoy seguro específicamente de cómo podría hacer esta construcción, o si es una idea sensata en primer lugar.

Answer 1

Dejemos que $X=\mathbb{R}$ con su topología habitual y dejemos que $Y=\mathbb{R}$ con la topología trivial $\{\varnothing,\mathbb{R}\}$ .

Entonces la función de identidad $f:X\to Y$ es continua e invertible, pero la función inversa $f^{-1}:Y\to X$ es discontinua en cada punto de $Y$ .

Answer 2

Toma

$X=([0,1]\cap\mathbb Q)\cup([-1,0]\setminus \mathbb Q$ ),

$Y=[0,1]$ ,

y definir $f:X\to Y$ por $f(x) = x^2$ . Entonces $f$ es continua y biyectiva, pero la función inversa es discontinua en cada punto.