Encuentra la función creciente $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$\int_{0}^{x}f(t)\,dt=x^2\text{ for all }x\in \mathbb{R}$$ Mi solución: Dejemos que $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ .
Entonces se deduce que $F$ es diferenciable y que $F'(x)=2x$ para todos $x\in \mathbb{R}$ .
Para $a\in \mathbb{R}$ tenemos que $$2a=F'(a)=\lim_{x\searrow a}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\lim_{x\searrow a}\frac{\int_{a}^{x}f(t)\,dt}{x-a}\ge \lim_{x\searrow a} \frac{\int_{a}^{x}f(a)\,dt}{x-a}=\lim_{x\searrow a}\frac{(x-a)f(a)}{x-a}=f(a)$$ y $$2a=F'(a)=\lim_{x\nearrow a}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\lim_{x\nearrow a}\frac{\int_{a}^{x}f(t)\,dt}{x-a}\le \lim_{x\nearrow a} \frac{\int_{a}^{x}f(a)\,dt}{x-a}=\lim_{x\nearrow a}\frac{(x-a)f(a)}{x-a}=f(a).$$ De estas dos relaciones se deduce que $f(x)=2x$ para todos $x\in \mathbb{R}$ .
Creo que mi solución funciona, pero lo que me gustaría saber es por qué no podemos tomar $f$ para ser decreciente. Suponiendo que fuera decreciente, invirtiendo las desigualdades de arriba obtenemos que $f(x)=2x,\forall x \in \mathbb{R}$ , lo cual es una contradicción. Lo que quiero averiguar es si hay alguna otra forma de llegar a una contradicción en este caso. Más concretamente, me gustaría saber qué puede haber motivado a los autores de este problema a considerar $f$ que sea creciente en lugar de decreciente (dudo que simplemente hayan probado ambos casos y hayan elegido el que realmente funcionaba).
Respuestas
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Por el teorema de diferenciación de Lebesgue, tenemos $F' = f$ casi en todas partes. Así que tenemos $f(x) = 2x$ casi en todas partes. En particular, para al menos dos puntos diferentes $x_1 < x_2$ tenemos $f(x_1) = 2 x_1$ y $f(x_2) = 2 x_2$ Así que $f$ no puede ser no creciente.
Ahora, si $f(x_0) \neq 2 x_0$ para algunos $x_0$ Entonces, o bien $f(x_0) < 2 x_0 - \varepsilon$ o $f(x_0) > 2 x_0 + \varepsilon$ . En el primer caso, hay algo de $y \in [x_0 - \varepsilon / 2, x_0)$ s.t. $f(y) = 2 y$ y por lo tanto $f(y) > f(x_0)$ mientras que $y < x_0$ - así que $f$ no puede ser no decreciente. Del mismo modo, si $f(x_0) > 2 x_0$ para algunos $y$ tenemos $y > x_0$ pero $f(x_0) < f(y)$ .
Por lo tanto, si $f(x) \neq 2x$ para algunos $x$ entonces $f$ no puede ser no decreciente. $f$ tampoco puede ser no creciente, por lo que si $f$ es monótona, debe ser igual a $2x$ .
En general, si $F(0) = 0$ , $F$ es diferenciable en todas partes y $F'$ es continua y monótona, entonces sólo hay una función monótona - $F'$ s.t. $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ .
Si $F$ es sólo continuo absoluto, entonces puede haber varias soluciones - por ejemplo, si $F(x) = |x|$ , entonces para cualquier $f$ s.t. $f(x) = \operatorname{sgn}(x)$ si $x \neq 0$ y $f(0) \in [-1, 1]$ la igualdad se mantendrá, y $f$ es monótona.
$f(x)=2x$ siempre que $f$ es continua en $x$ . Desde $f$ es creciente es continua excepto en un número contable de puntos Por lo tanto es continua en un conjunto denso. Dado cualquier $x$ elegir una secuencia creciente $(x_n)$ y una secuencia decreciente $(y_n)$ Ambos tienden a $x$ tal que $f$ es continua en cada $x_n$ y en cada $y_n$ . Entonces $2x_n=f(x_n)\leq f(x) \leq f(y_n)=2y_n$ . Dejar $n \to \infty$ se obtiene $f(x)=2x$ .
De hecho, las igualdades de límite que has escrito son válidas si $f$ se supone que es continua.
La función $$f(x)=\begin{cases} 2x & x \notin I \\ 0 & x \in I \end{cases}$$
donde $I=\{1/n \ ; \ n \in \mathbb N\}$ satisface la igualdad solicitada pero no es creciente.
La función $f(x)=2x$ para todos $x \in \mathbb R$ es la única creciente que satisface la igualdad.
