Cómo mostrar que $\mathbb R^n$ $1$- norma no es isométrico a $\mathbb R^n$ con el infinito norma para $n>2$?

Question

Podría usted por favor, dame una pista para demostrar que $\mathbb{R}^n$ con el 1-norma $\lvert x\rvert_1=\lvert x_1\rvert+\cdots+\lvert x_n\rvert$ no es isométrico a $\mathbb{R}^n$ con la infinidad de norma $\lvert x\rvert_\infty = \max_{i=1,\ldots,n}(\lvert x_i\rvert)$$n\gt2$.

No veo cómo el caso crítico $n=2$ entra en la imagen.

Gracias!

Answer 1

Para envolver los comentarios (asumiendo $n \geq 2$ ya que los casos $n=0,1$ son poco interesantes):

Desde el Mazur–Ulam teorema sabemos que un surjective distancia-preservar el mapa entre la normativa de los espacios es necesariamente afín. Después de componer con una traducción podemos asumir que nuestro isometría preserva $0$, por lo que podemos asumir que la isometría es lineal desde el principio.

Un surjective isometría lineal debe mapa de los puntos extremos de la unidad de la bola del dominio en los puntos extremos de la unidad de la bola de la gama. Un momento de reflexión muestra que la unidad de la bola en el $\ell^1$-norma ha $2n$ puntos extremos, es decir, el $n$ coordenadas de los vectores y su $n$ negativos; y que la unidad de la bola en el $\ell^\infty$-norma ha $2^n$ puntos extremos: los vectores cuyas entradas se $\pm 1$. Por lo tanto isometría sólo es posible si $n =2$, donde es una isometría, dado por $e_1 \mapsto e_1+e_2$$e_2 \mapsto -e_1 + e_2$.