Hay dos formas en las que creo que se puede resolver este problema, sin embargo, dan respuestas diferentes, por lo tanto, al menos una de ellas es incorrecta.
Empecemos con un problema más sencillo, el clásico ejemplo de levantar un peso $m g $ con un vertical fuerza $F$ , una distancia $\Delta z$ da un trabajo realizado $W_F$ de $mg \Delta z$ . Esto se puede demostrar sabiendo que el trabajo neto realizado $W_{net}$ equivale al cambio de energía cinética $\Delta K$ que, suponiendo que la velocidad al principio y al final del movimiento es la misma, será igual a $0$ Por lo tanto:
$W_{net}= \Delta K=0$
Ahora, sin entrar en muchos otros detalles, se puede demostrar que $W_{net}$ se compone del trabajo realizado por la fuerza vertical $W_F$ y el trabajo realizado por la gravedad $W_g$ y por lo tanto $W_F= mg \Delta z$ como se ha dicho anteriormente. Sin embargo, consideremos el problema un poco más complejo:
Supongamos que queremos deslizar (aún suponiendo una fricción nula) un círculo sobre otro círculo con brazo de palanca $L$ Suponiendo una velocidad inicial nula, una velocidad final nula y un ángulo inicial $\theta_0$ , ángulo final $\frac{\pi}{2}$ y una fuerza horizontal $F$ que actúa sobre el círculo en movimiento (véase el diagrama siguiente).
¿Cómo resolvemos este problema? Enfoque 1 sigue lo mismo que en el caso de la elevación vertical:
$W_{net}=0$ y $W_{net}= W_g + W_F$ por lo tanto,
$-W_g= W_F$ por lo que, considerando el componente de $mg$ en la dirección del movimiento y la integración:
$-W_g= - \int_{\theta_0}^\frac{\pi}{2} mg \cos(\theta) ds = -\int_{\theta_0}^\frac{\pi}{2} mg \cos(\theta) L d\theta = -mg L (1-\sin(\theta_0)$
Dónde $ds$ es el trozo infinitesimal de la trayectoria que sigue el círculo y es igual a $L d\theta$ . Por lo tanto...
$W_F=-mg L (1-\sin(\theta_0)$ . Sin embargo, esto parece extraño ya que no parece tener en cuenta el hecho de que $F$ está en la dirección horizontal y daría la misma respuesta si $F$ se aplicaron verticalmente.
Enfoque 2 es la siguiente: ¿podemos suponer que las fuerzas son iguales en toda la trayectoria del centroide? En otras palabras, la ecuación del movimiento en la dirección tangencial sin aceleración es:
$0= F \sin(\theta)- mg \cos(\theta) $ reordenando da:
$F= mg \cot(\theta)$ Ahora vamos a integrar a lo largo de la trayectoria con longitud infinitesimal $ds$ :
$\int_{\theta_0}^\frac{\pi}{2} F ds = \int_{\theta_0}^\frac{\pi}{2} mg \cot(\theta) ds= \int_{\theta_0}^\frac{\pi}{2} mg \cot(\theta) L d\theta= -mgL [\ln(\sin(\theta_0))]$
Por lo tanto, esa expresión final es igual a $\int_{\theta_0}^\frac{\pi}{2} F ds$ que también es igual a $W_F$ . Por lo tanto, hemos resuelto el problema. PERO, ¿por qué no funciona el primer enfoque y cómo se resolvería este problema utilizando el enfoque 1? ¿O hay un fallo en el enfoque 2?
Siento que la pregunta sea tan larga. Si uno de estos enfoques es correcto y otro es incorrecto, entonces por favor explique qué es lo que falla en el incorrecto. Si ambos son incorrectos, explique el enfoque correcto de este problema.
Muchas gracias por la ayuda que puedan prestar.
