¿Es la suma $\sum_{i=1}^{n}\frac1{i} \binom{n}{i}$ ¿es posible?

Question

Quiero calcular la siguiente suma: $$ \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{{n\choose{i}}}{i} $$

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Lo que he hecho hasta ahora:

Sabemos que $$(1+x)^n=\sum\limits_{r=0}^{n} {n\choose{r}}x^r$$ Así que.., $$\frac{(1+x)^n-1}{x}=\sum\limits_{i=1}^{n} {{n\choose{i}}}x^{i-1}$$ por lo tanto, al integrar obtenemos, $$\int\limits_{0}^{1}\frac{(1+x)^n-1}{x}dx=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{{{n\choose{i}}}}{i}$$

No puedo llegar más lejos con el LHS de la ecuación anterior.

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Principales cuestiones a tratar:

1. ¿Es posible esta integración (por qué)?
2. ¿Existen otras aproximaciones para la suma?

Answer 1

Para ampliar un poco el comentario de @Sangchul Lee - después de la sustitución de ${y=1+x}$ la integral se convierte en

$${\Rightarrow \int_{1}^{2}\frac{y^n-1}{y-1}dy}$$

(Esta sustitución no es "necesaria" para la siguiente parte, sin embargo lo hace un poco más claro). Ahora podemos utilizar una fórmula especial de factorización:

$${a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})}$$

Para conseguir

$${\int_{1}^{2}\frac{(y-1)(y^{n-1} + y^{n-2} + ... + y + 1)}{(y-1)}dy=\int_{1}^{2}y^{n-1} + y^{n-2} + ... + y + 1dy}$$

Evaluando esta última integral obtenemos la suma

$${\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}-1}{k}}$$

Así que en general tienes que

$${\sum_{k=1}^{n}\frac{{n\choose k}}{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k-1}{k}}$$

Pero aparte de eso, no estoy seguro de que haya alguna forma más útil. WolframAlpha da algunas formas cerradas de aspecto muy desagradable que implican funciones especiales.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{i = 1}^{n}{{n \choose i} \over i} & = \sum_{i = 1}^{n}{n \choose i}\int_{0}^{1}t^{i - 1}\,\dd t = \int_{0}^{1}\sum_{i = 1}^{n}{n \choose i}t^{i}\,{\dd t \over t} = \int_{0}^{1}\bracks{\pars{1 + t}^{n} - 1}\,{\dd t \over t} \\[5mm] & = \int_{1}^{2}{1 - t^{n} \over 1 - t}\,\dd t = \int_{0}^{2}{1 - t^{n} \over 1 - t}\,\dd t\ -\ \underbrace{\int_{0}^{1}{1 - t^{n} \over 1 - t}\,\dd t}_{\ds{H_{n}}} \\[5mm] & = \int_{0}^{2}{1 - t^{n} \over 1 - t}\,\dd t - H_{n} \end{align}