Área: círculos concéntricos frente a rectángulos concéntricos

Question

Una de las formas de enseñar el área de un círculo a los alumnos de secundaria (11-16) es cortar el círculo en círculos concéntricos y luego reorganizar las piezas en un triángulo.

$$\begin{align} \text{area of cirlce} &= 1/2 \times base \times height \\&= 1/2 \times 2\pi r \times r \\&= \pi r^2 \end{align}$$

Ingenuamente, esperaba que este argumento se generalizara. Por ejemplo, un rectángulo con base $a$ y la altura $b$ podría dividirse en rectángulos concéntricos y reorganizarse en un triángulo. Como antes, la base del triángulo sería el perímetro del rectángulo.

$$\begin{align} \text{area of rectangle} &= 1/2 \times base \times height \\&= 1/2 \times 2(a+b) \times b/2 \\&= \frac{(a+b)b}{2} \end{align}$$

Sin embargo, ésta no es la fórmula habitual para el área de un rectángulo. ¿Qué hay de malo en el razonamiento anterior?

Me interesa una justificación rigurosa del argumento del área del círculo y por qué no se aplica al rectángulo. Pero también me gustaría una comprensión intuitiva de por qué el argumento es válido para un círculo pero no para un rectángulo (que sea un argumento comprensible para un estudiante de secundaria).

Referencias

Imagen tomada de https://byjus.com/maths/area-circle/

Answer 1

Las tiras de un rectángulo no quedarán planas. Si hay $n$ tiras entonces la parte de las tiras vienen de la base será $\frac a{2n}$ grueso. Pero las tiras de los lados serán $\frac b{2n}$ grueso. Colóquelos en posición horizontal -.... tendrá que promediar el ancho y el largo.

Podemos arreglar esto. Suma las tiras de las bases y obtendrás un triángulo con base $= 2a$ y la altura $=\frac 12b$ . Ahora, coloca las tiras desde los lados. Obtendrás un triángulo con base $=2b$ y una altura $=\frac 12a$ . Así que el área del rectángulo será $\frac 12\cdot 2a\cdot \frac 12b + \frac 12\cdot 2b\cdot \frac 12 a$ .

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Imagina que intentamos dibujar una imagen para tu idea del rectángulo y que eliges un rectángulo que sea $6$ pulgadas de ancho por $4$ pulgadas de alto y dibujamos $6$ de las bandas rectangulares. Cada banda forma un "marco". Observe que a lo largo de la base la banda del marco será $\frac 13$ de pulgada de espesor (porque hay seis bandas y se apilan hasta la mitad de la altura). Pero a lo largo de los lados la banda del marco será $\frac 12$ de pulgada de grosor (porque hay seis bandas y se apoyan unas en otras hasta la mitad de la anchura).

La diferencia entre las bandas es $\frac 13$ y $\frac 12$ en lugares lo cambia todo.