Una de las formas de enseñar el área de un círculo a los alumnos de secundaria (11-16) es cortar el círculo en círculos concéntricos y luego reorganizar las piezas en un triángulo.
\begin{align} \text{area of cirlce} &= 1/2 \times base \times height \\&= 1/2 \times 2\pi r \times r \\&= \pi r^2 \end{align}
Ingenuamente, esperaba que este argumento se generalizara. Por ejemplo, un rectángulo con base $a$ y la altura $b$ podría dividirse en rectángulos concéntricos y reorganizarse en un triángulo. Como antes, la base del triángulo sería el perímetro del rectángulo.
\begin{align} \text{area of rectangle} &= 1/2 \times base \times height \\&= 1/2 \times 2(a+b) \times b/2 \\&= \frac{(a+b)b}{2} \end{align}
Sin embargo, ésta no es la fórmula habitual para el área de un rectángulo. ¿Qué hay de malo en el razonamiento anterior?
Me interesa una justificación rigurosa del argumento del área del círculo y por qué no se aplica al rectángulo. Pero también me gustaría una comprensión intuitiva de por qué el argumento es válido para un círculo pero no para un rectángulo (que sea un argumento comprensible para un estudiante de secundaria).
Referencias
Imagen tomada de https://byjus.com/maths/area-circle/
