Parece que una gran clase de funciones periódicas (por ejemplo, funciones continuamente diferenciables) puede representarse como una serie trigonométrica, al menos en casi todas partes. Pero ¿hay alguna función (cuanto menos patológica mejor) que NO pueda representarse como una serie trigonométrica en casi todas partes? Sé que hay funciones cuya serie de Fourier no converge, pero eso no implica que no pueda ser representada por una serie trigonométrica, ¿verdad? Muchos resultados del análisis de Fourier asumen al menos la integrabilidad de las funciones, así que si la función no es integrable, parece que hay poco que pueda decir sobre su representación trigonométrica.
Respuesta
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Depende de lo que se entienda por "se puede representar".
Tal vez sea natural entender que para todos los $\epsilon>0$ hay un $n(\epsilon)$ de manera que la serie se trunca en $m$ términos para cualquier $m\geq n(\epsilon)$ tiene la propiedad de estar siempre dentro de $\epsilon$ de la función que se representa. Si ese es el significado, entonces estoy bastante seguro de que la diferenciación continua es necesaria y suficiente.
Tenga en cuenta que "siempre" significa aquí en cada momento, utilizando un $n(\epsilon)$ que no depende del punto seleccionado.
