¿Cómo calcular esta expresión?(multiplicación)

Question

¿Cómo puedo demostrar que para cualquier inicio $n$ ? (No estoy seguro de que sea $0$ pero creo que sí).

$$\prod_{i=n}^\infty \left[1-\frac 1 i\right]=\prod_{i=n}^\infty \left[\frac{i-1}{i}\right]=0$$

Intenté tomar logarighm, entonces me sale una suma. $\sum_{i=n}^\infty \ln\left(\frac{i-1}{i}\right)$ . Pero entonces debo demostrar que esta suma va a $-\infty$ ¿puedo mostrarlo de alguna manera?

Answer 1

$$\sum_{i=n}^\infty \log \frac{i-1}{i} = \sum_{i=n}^\infty (\log(i-1)-\log(i))=\lim_{N\to\infty} [\log(n-1)-\log(N)]$$