La derivación de la Belinfante-Rosenfeld tensor

Question

• Me parece que hay una "diferencia" (al menos aparentemente) en la manera en la Belinfante-Rosenfeld tensor es que se pensó en la sección 7.4 del Volumen 1 de Weinberg de la QFT libro y en la sección 2.5.1 de la conformación del campo de la teoría del libro de di Francesco et. al.

  Yo estaría encantado si alguien puede ayudar a conciliar el tema.

Esquemáticamente el principal problema como yo lo veo es esto:

• Si la acción y la densidad lagrangiana se puede escribir como $ I = \int d^4x L$ $\omega_{\mu \nu}$ ser el pequeño de parámetros de la transformación de Lorentz, a continuación, Weinberg es el pensamiento de $\omega_{\mu \nu}$ a ser el espacio-tiempo es independiente y es la variación de la acción de escribir en el formulario, $\delta I = \int d^4x (\delta L = (A^{\mu \nu})\omega_{\mu \nu}) $, a Continuación, algunos simétrico forma de lo que esta $A^{\mu \nu}$ viene a ser lo que se llama la Belinfante tensor. ( Sus necesidades de conservación de los campos de satisfacer las ecuaciones de movimiento)

• Pero después de Francesco et.al set-up me inclino a pensar que de $\omega_{\mu \nu}$ como el espacio-tiempo dependiente y, a continuación, la variación de la acción también se recoja términos del Jacobiano y el cálculo de aproximadamente va diciendo, $\delta I = \int (\delta(d^4x)) L + \int d^4x (\delta L)$. Dado que, según la rígida transformaciones de Lorenz el elemento de volumen es invariante el coeficiente de $\omega_{\mu \nu}$ en la primera variación se desvanecen, pero la segunda variación se producirá un coeficiente de decir $B^{\mu \nu}$. Pero tanto las variaciones que se producen en un coeficiente de la derivada de $\omega_{\mu \nu}$ y dejar que ellos se $C^{\mu \nu \lambda}$ $D^{\mu \nu \lambda}$ respectivamente.
  Ahora el argumento será que desde la acción original era comenzar invariantes bajo transformaciones de Lorentz, cuando se evaluó sobre ellos, el $B^{\mu \nu}$ debe $0$ y en cambio las derivadas parciales de la suma de $C^{\mu \nu \lambda}$ $D^{\mu \nu \lambda}$ es la conserva de corriente (..y no queda claro si sus necesidades de conservación en el campo para satisfacer la ecuación de movimiento..)

Por el primer camino de $A^{\mu \nu}$ será la conservadas actual y en el segundo la conserva de la corriente será, $C^{\mu \nu \lambda} + D^{\mu \nu \lambda}$ (C tensor será, básicamente, mira como $-x^\nu \eta^{\lambda \mu}L$)

Es el argumento de arriba correcta?

Si sí, entonces son los dos argumentos equivalente?

¿O es de Weinberg argumento teniendo en cuenta la contribución a la conserva actual a partir de la variación de la Jacobiana de la transformación?

Answer 1

Los dos derivaciones son de hecho diferentes, pero el objeto resultante debe ser la misma: debe ser simétrica y conservado en la cáscara.

De hecho, quizás el más limpio manera de obtenerlo es a la par la teoría de la gravedad y, a continuación, variar el resultado de la acción con respecto a la métrica. Si nos vamos a $$ S = \int_M d^4x \sqrt {g} \mathcal{L} $$ denotar la acción de la teoría junto a la de la gravedad (es decir, poner la teoría en un colector de lorenz por covariantising derivados,...), a continuación, el Belinfante estrés-tensor de energía se define (hasta quizás una constante) por $$ T_{\mu\nu} = \frac{1}{\sqrt {g}} \frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}~. $$

Este formulario tiene la virtud de que es fácil ver que si la teoría es invariante bajo homotheties -- $\delta g_{\mu\nu} = \lambda g_{\mu\nu}$ para algunas constantes $\lambda$ -- el estrés de la energía tensor es traceless.

Answer 2

Los dos derivaciones son idénticos, excepto por el hecho de que Weinberg no tienen la forma general del teorema de Noether para simetrías que actúan en el espacio-tiempo de coordenadas, así como en los campos (Ecuación 2.141 en Di Francesco, Mathieu y Sénéchal del libro).
Como una consecuencia, Weinberg tenía para el cálculo de la variación de la acción con respecto a la de Lorentz generadores de cero (incluyendo la sustitución de las ecuaciones de movimiento).

Furthermor, quería remarcar que el plazo en función de la variación del espacio de las coordenadas de tiempo en la forma general del teorema de Noether no es debido a la noninvariance del espacio de Minkowski tiempo de medida $d^4x$ como esta medida es invariante bajo las dos traducciones y transformaciones de Lorenz. El plazo adicional se debe a la dependencia de la Lagrangiana en el espacio de las coordenadas de tiempo a través de su dependencia en los campos.

Ahora, ambos autores el uso de la derivación como un medio de cálculo de la Belinfante & Rosenfeld 3-tensor cuya divergencia es que se añade a la canónica de energía impulso tensor para obtener el simétrico Belinfante tensor de inercia de energía. El principio en el que este cálculo se basa es que el orbital parte de la canónica conservadas de la corriente correspondiente a la simetría de Lorentz debe tener la forma:

$M^{\mu\nu\rho} = x^{\nu} T_B^{\mu\rho} - x^{\rho} T_B^{\mu\nu} $

con $T_B$ tanto conservados y simétricos (como puede ser revisado por un cálculo directo), por lo tanto, organizar la extra-términos con los que se obtiene para traer de Lorentz canónica actual de esta forma, y como consecuencia de ellos se obtienen los necesarios tensor para ser añadido.

Quería añadir que ambos autores el uso de los derivados del grupo de simetría de los parámetros en sus intermedios de los cálculos, pero esto no es necesario. Las mismas corrientes pueden ser obtenidos para la variación con respecto al global de los parámetros constantes. Si la acción se localmente invariante (con respecto a los parámetros variables), entonces las corrientes habría sido conservada off-shell. Este es el Noether del segundo teorema.

Por último, me quiero referir a este artículo de Gotay y Marsden describir un método de obtener una simétrica y (invariante gauge) de energía-impulso tensor directamente basada en Noether la teoría.