Relación entre los caracteres del grupo simétrico y el grupo lineal general

Question

¿Cuál es la relación entre los caracteres del grupo simétrico ( $S_n$ ) y los caracteres del grupo lineal general ( $GL(n)$ ), si es que hay alguna? ¿Puede el carácter de $S_n$ se amplíe en términos de caracteres de $GL(n)$ . Gracias.

Answer 1

Existe un vínculo entre las representaciones irreducibles y la dualidad Schur-Weyl. https://en.wikipedia.org/wiki/Schur%E2%80%93Weyl_duality

Answer 2

Hace unos años publicamos un artículo en el arXiv que define los caracteres de $S_n$ (incrustado en $Gl(n)$ como matrices de permutación) como funciones simétricas que pueden expandirse en la base de Schur (irreducible $Gl(n)$ caracteres): https://arxiv.org/abs/1605.06672

No existe una fórmula explícita para calcular las expansiones de Schur de estas funciones simétricas, pero como los caracteres de $S_n$ forman una base, se puede calcular la expansión de Schur.

Existe un código en Sage para hacer esto en ejemplos específicos. sage: s = SymmetricFunctions(QQ).s(); s Symmetric Functions over Rational Field in the Schur basis sage: st = SymmetricFunctions(QQ).st(); st Symmetric Functions over Rational Field in the irreducible symmetric group character basis sage: s(st[2,1]) # expand irreducible character indexed by (n-3,2,1) in Schur basis 3*s[1] - 2*s[1, 1] - 2*s[2] + s[2, 1]

Sami Assaf y David Speyer tienen una prueba inédita de que esta expansión es de signo alterno por grado.