Verificación del homomorfismo de grupo que preserva la acción sobre un conjunto

Question

Estoy estudiando "Un primer curso de álgebra abstracta", de Fraleigh, y acabo de empezar a leer los capítulos sobre acciones sobre conjuntos. Me encontré con un ejercicio que preguntaba sobre dos grupos relacionados por un homomorfismo y las implicaciones de las acciones sobre un conjunto:

Dejemos que $\phi:G\rightarrow H$ sea un homomorfismo de grupo, y sea $H$ en el acto un conjunto $X$ . ¿Qué nos dice esto sobre si $G$ actúa sobre $X$ ?

Creo que sí implica que $G$ actúa sobre $X$ (parece bastante intuitivo), y he intentado demostrarlo a continuación:

Si un conjunto $H$ actúa sobre un conjunto $X$ Entonces tenemos eso:

$(i)$ $\forall x\in X$ , $e_Hx=x$

$(ii)$ $(h_1h_2)(x)=h_1(h_2x)$ , $\forall x\in X$ , $h_1,h_2\in H$

Para mostrar $(i)$ observamos que $e_H=\phi(e_G)$ , lo que implica que:

$$\phi(e_G)x=x$$

para todos $x\in X$ .

Para mostrar $(ii)$ observamos que por el hecho de que $\phi$ es un homomorfismo:

$$\phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2)$$

para $g_1,g_2\in G$ . También tenemos que $\phi(g_1)=h_1$ y $\phi(g_2)=h_2$ . Así que:

$$\phi(g_1)\phi(g_2)=\phi(g_1g_2)=(h_1h_2)\rightarrow\phi(g_1g_2)(x)=h_1(h_2x)$$

por sustitución en nuestra afirmación anterior. Pero el RHS es justo:

$$h_1(h_2x)=\phi(g_1)\big[\phi(g_2)x\big]$$

Así que..:

$$\rightarrow\phi(g_1g_2)(x)=\phi(g_1)\big[\phi(g_2)x\big]$$

¿Esto es suficiente? ¿Hay algo que pueda ser más claro o conciso? Parece un ejercicio bastante sencillo, pero la forma en que está redactado me hace ser un poco escéptico de que realmente sea tan simple. Cualquier consejo será sinceramente apreciado. Saludos.

Answer 1

Tu intuición es acertada, y la prueba está bien (aunque yo escribiría todos los detalles para estar seguro de lo que pasa).

Para ser explícito, la acción $G \circlearrowright X$ se define como

$$ g \cdot x := \phi(x) \cdot x, \tag{1} $$

donde el segundo punto significa el producto en el $H$ -acciones.

En cuanto a las pruebas más cortas, si ha visto que las acciones $H \circlearrowright X$ están en correspondencia con los homomorfismos de grupo $H \xrightarrow{\alpha} S(X)$ de $H$ al grupo de biyecciones de $X$ entonces este razonamiento se reduce a observar que dado un morfismo $\phi : G \to H$ la composición

$$ G \xrightarrow{\phi} H \xrightarrow{\alpha} S(X) $$

es un morfismo de grupo, definiendo así una acción sobre $X$ .

Si desenrolla la prueba de esta correspondencia, obtendrá $(1)$ una vez más.