Entender la fórmula del carácter de Weyl

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie compacto (conectado) con un toro maximal $T$ . Para cada peso integral (analítico) $\lambda$ la fórmula del carácter de Weyl $$\Theta_{\lambda}(H)=\frac{\sum_{w\in W(G)}\epsilon(w)e^{w(\lambda+\rho)(H)}}{\sum_{w\in W(G)}\epsilon(w)e^{w(\rho)(H)}}$$ define una función que desciende al conjunto de elementos regulares en $T$ .

También sabemos, por la teoría del mayor peso, que existe una correspondencia entre los pesos integrales dominantes y las representaciones irreducibles de $G$ .

Weyl demostró que cuando $\pi$ es una representación irreducible con el mayor peso $\lambda$ su carácter viene dado por $\Theta_\lambda$ .

Mi pregunta es si el lado derecho de la fórmula de Weyl tiene un significado o interpretación interesante cuando $\lambda$ no es un peso integral dominante.

Por supuesto, si $\lambda$ no es integral La fórmula de Weyl no desciende al grupo $G$ pero me pregunto si la fórmula de Weyl refleja una propiedad del (representaciones del) grupo o de su álgebra de Lie en este caso.

Answer 1

Una forma de interpretar la fórmula del carácter de Weyl es como la característica de Euler de la Resolución de BGG . Si $\lambda$ no es integral, entonces los términos de la resolución BGG siguen teniendo sentido (son módulos de Verma), pero los mapas utilizados para definir la estructura compleja ya no existen (si $\lambda$ es genérico, no hay $\mathfrak{g}$ -equivariante de un término del complejo a otro).