La conectividad propiedad de $R^2$

Question

Mi maestro de clase propuso este problema que parece muy interesante.

Si quitamos conjuntamente muchos discos abiertos de $R^2$ . ¿Es el resto el espacio sigue siendo un camino conectado.

He hecho el problema para el caso cuando los discos no se desarman y descubro que el espacio no tiene por qué estar conectado. Pero me pregunto qué pasa si los discos están Desconexión. Creo que el espacio debe estar conectado al camino, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

El conjunto está conectado a la ruta. Dado $A$ y $B$ construir un camino desde $A$ a $B$ comenzando con el segmento de línea recta de $A$ a $B$ con velocidad uniforme; dondequiera que esté en el espacio, el camino está dado por el segmento de línea; dondequiera que no lo esté, esto se debe a un disco específico; definir el camino para mapear el intervalo que se habría mapeado a una cuerda de este disco al correspondiente arco menor con velocidad constante (donde si el segmento de línea corta el disco por la mitad, elegir, digamos, el arco izquierdo). El arco no está cubierto ni por este disco, ni por ningún otro disco desarticulado. La continuidad se desprende del hecho de que la redistribución no puede estirar las distancias a lo largo del camino por más de un factor de $ \pi /2$ .

Answer 2

Este podría ser un contra-ejemplo donde reemplazo las bolas abiertas por rectángulos abiertos.

consideremos el conjunto { $1/n$ }... si $n$ es impar thne considerar los rectángulos abiertos $(1/n,1/n+1) \times (2k, 2k+2)$ s.t $ k \in \mathbb {Z}$ ...y si $n$ es incluso entonces considerar los rectángulos abiertos $ (1/n,1/n+1) \times (2k+1, 2k+3)$ s.t $ k \in \mathbb {Z}$ ... ahora mi afirmación es que si saco todos esos rectángulos de $ \mathbb {R^2}$ ...entonces el espacio restante no puede ser conectado al camino para probar esto podemos usar algún tipo de argumento similar que solemos hacer mientras probamos que la curva topológica sinusoidal no está conectada al camino...