Buscando el límite de una suma

Question

Buscando un límite, con $1<\alpha\leq 2$ , $\sigma>0$ :

$$\lim_{p\to \infty } \, \sum _{k=1}^p \left( \frac{1}{2 \pi k!}\left(1+i \tan \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)\right)^{1/\alpha } \left(1-i \tan \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)\right)^{k/\alpha }+(-1)^k \left(1-i \tan \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)\right)^{1/\alpha } \left(1+i \tan \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)\right)^{k/\alpha }\right) \left(i^k K^k \sigma ^{1-k} \sec ^2\left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)^{-\frac{k}{\alpha }} \Gamma \left(\frac{k+\alpha -1}{\alpha }\right)\right),$$ que converge numéricamente. Es fácil obtener resultados aceptables con funciones especiales para valores conocidos de $\alpha$ , digamos que con $\alpha=\frac{3}{2}$ : $$-\frac{e^{\frac{K^3}{27 \sigma ^3}} \left(\sqrt[3]{2} K^2 \, _0\tilde{F}_1\left(;\frac{4}{3};\frac{K^6}{2916 \sigma ^6}\right)-18 \sigma ^2 \, _0\tilde{F}_1\left(;\frac{2}{3};\frac{K^6}{2916 \sigma ^6}\right)\right)}{9\ 2^{2/3} \sigma }$$

(donde $_0\tilde{F}_1$ es la función hipergeométrica confluente, $_0F_1(;a;z)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{z^k}{k! (a)_k}$ , $(a)_k$ es la función Pochhammer: $(a)_n=a (a+1) \ldots (a+n-1).$ )

Answer 1

Hay problemas en los que las simplificaciones de una integral sólo se conocen para racionales $\alpha$ s y, a efectos prácticos, cuando $\alpha = \text{Rational}[a, b]$ tiene $a$ y $b$ siendo números enteros relativamente "pequeños". Por ejemplo, existen expresiones de forma cerrada para las PDF estables en términos de las funciones G de Meijer, pero sólo para valores racionales de $\alpha$ . Si estas sumas surgen de una aplicación que involucra distribuciones estables, entonces usted puede ser capaz de conseguir la tracción asumiendo un racional $\alpha$ y aplicando una simplificación aguas abajo en el cálculo de su resultado anterior.