La función de prueba es Schwartz

Question

Quiero demostrar que $f(t)=e^{-t^2C\pi}$ es Schwartz. Intenté calcular las derivadas y mostrar que para todos $n,k\in \mathbb{N}_0$ $$\lim_{t\to \infty}t^{k}f^{(n)}(t)=0$$ pero se ensucia muy rápido. ¿Hay otra manera?

Answer 1

Es fácil ver que $f^{(n)}(t)=P_n(t)\,e^{-C\pi t^2}$ , donde $P_n$ es un polinomio de grado $n$ . Ahora tienes que demostrar que $\lim_{t\to\infty}t^ke^{-C\pi t^2}=0$ para todos $k\in\mathbb N$ .