Cuál es la diferencia entre las dos partes de FTOC, me parece que son esencialmente la misma cosa:
https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/Math21BHWDIRECTORY/MVTFTC.pdf
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zhw.
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No, no son lo mismo. La FTC1 es la gran arma: Establece que si $f$ es continua en $[a,b],$ entonces $f$ tiene una antiderivada $F,$ a saber, la función
$$F(x)= \int_a^x f(t)\, dt,\,\, x\in [a,b].$$
Recordemos que antes de que el estudiante haya visto el FTC1, ya se ha hecho mucho trabajo para garantizar que las integrales $\int_a^x f(t)\, dt$ incluso existen (límites de las sumas de Riemann y todo eso). FTC1 es un logro supremo porque dice que no sólo existen esas integrales, sino que la derivada de la función así formada nos devuelve $f.$
El FTC2 es un logro menor. Todo lo que dice es que si tienes cualquier antiderivada $G$ de una función continua $f$ en $[a,b],$ entonces $\int_a^b f(t)\,dt = G(b)-G(a).$ En FTC1 ya teníamos una antiderivada, concretamente la $F$ definido allí, que hace esto. FTC2 simplemente dice que cualquier antiderivada lo hará. La prueba de FTC2 es casi trivial: por la MVT, dos antiderivadas cualesquiera en un intervalo difieren en una constante, y el resultado se deduce.
Paramanand Singh
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Si la función $f$ es continua, entonces la segunda parte de FTOC es un corolario inmediato de la primera. La verdadera diferencia entre ambas partes es visible cuando $f$ es discontinua. Las enuncio para la integración de Riemann.
Primer FTOC : Si $f$ es integrable de Riemann en $[a, b] $ y $$F(x) =\int_{a}^{x}f(t) \, dt$$ entonces $F$ es continua en $[a, b] $ y si $f$ es continua en $c\in[a, b] $ entonces $F$ es diferenciable en $c$ y $F'(c) =f(c) $ .
Hay que tener en cuenta que $F$ puede ser diferenciable en algún punto $c$ incluso si $f$ es discontinuo en $c$ pero entonces no podemos decir que $F'(c) = f(c) $ con garantía. Además, un punto profundo y sutil: Si una función es integrable de Riemann entonces es continua en algunos puntos del intervalo de modo que la ecuación $F'(c) =f(c) $ en la declaración anterior de FTOC tiene relevancia.
Segundo FTOC : Si $F$ es diferenciable en $[a, b] $ y la derivada $F'$ es integrable de Riemann en $[a, b] $ entonces $$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}F'(x) \, dx$$
Tenga en cuenta que $F'$ no es necesariamente integrable de Riemann y, por lo tanto, tenemos que suponer su integrabilidad en el enunciado de la segunda FTOC anterior. También hay que tener en cuenta que incluso si $F'$ se supone que es integrable en Riemann no es necesario que $F'$ es continua en todo el intervalo $[a, b] $ .
Ambas partes de FTOC tienen pruebas independientes. Sólo cuando las funciones bajo signo integral son continuas, la segunda FTOC es un simple corolario de la primera FTOC (debes comprobar que es así).
Los enunciados y las pruebas de FTOC que aparecen en el PDF enlazado tratan el caso más sencillo cuando las funciones que se integran son continuas. Tu observación de que son casi iguales es correcta. Esto también se desprende de las pruebas dadas en el enlace. Las pruebas de los teoremas que he dado arriba son algo difíciles (comparadas con las que se dan en el pdf) y si tienes un mira estas pruebas se convencerá enseguida de que ambas partes de FTOC son razonablemente diferentes entre sí.
