Demuestre que si $T$ no es $\aleph_0$ -categórico entonces $T$ tiene un modelo no atómico de tamaño $\aleph_1$

Question

Exactamente como decía el título:

Demuestre que si $T$ no es $\aleph_0$ -categórico entonces $T$ tiene un modelo no atómico de tamaño $\aleph_1$

Me gustaría recibir algunas indicaciones sobre cómo proceder.

Answer 1

Supongamos que la lengua es contable. Entonces cualquier no $\aleph_0$ -la teoría categórica tiene un modelo contable $M$ que no es primo, por lo tanto no es atómico. Sea $a\in M$ realizar un tipo no aislado (sobre $\varnothing$ ). Que toda extensión elemental de $M$ que contiene $a$ también realiza el mismo tipo.

No tengo la respuesta para las lenguas incontables.