Comprobación del cuadrado conmutativo para derivaciones (no necesariamente) invariantes a la izquierda

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico ( aunque la pregunta es el punto de abajo, y supongo que se pueden considerar grupos de Lie , donde $K[G]$ en el entorno del grupo de Lie son sólo funciones $f:G\to K$ en el grupo de Lie).

Estoy tratando de entender las derivaciones invariantes de la izquierda de las funciones.

Así que dejemos $\delta:K[G]\to K[G]$ sea una derivación, y que $\lambda_x$ sea una traslación a la izquierda de las funciones, lo que significa que $$\lambda_x f(y)=f(x^{-1}y), \quad(x,y\in G, f\in K[G]).$$

Derivación invariante a la izquierda, significa que $\lambda_x \delta = \delta \lambda_x$ para cada $x\in G$ .

Creo que se refieren a la composición, para que sólo preguntemos: $$\begin{matrix}K[G]&\stackrel{\lambda_x}{\to}&K[G]\\\delta\downarrow&&\downarrow \delta\\K[G]&\stackrel{\lambda_x}{\to}&K[G]\end{matrix}$$

Entonces quiero pensar en un ejemplo, así que dejemos $B\subset \text{SL}_2$ sea un subgrupo de Borel, donde escribimos $K[X_1,X_1^{-1},X_2]$ para el álgebra asociada. Sea $\delta = \frac{\partial}{\partial X_1}$ .

A continuación, quiero ver cómo esto fallaría para conmutar (si lo hace), así que miro $f= X_1^2+X_1X_2$ y luego $\delta f = 2X_1^2 + X_2$ y $\lambda_x\delta(f)$ simplemente multiplica cualquier elemento de $G$ por $x^{-1}$ primero, antes de evaluar $\delta(f)$ . Esto parece estar bien. (Bajando por la izquierda y la parte inferior del diagrama)

Pero yendo hacia el otro lado, ¿cómo veo $\delta(\lambda_x f)$ ? Digamos que dejo $$x=\begin{bmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{bmatrix}, y= \begin{bmatrix}t&z\\0&t^{-1}\end{bmatrix}\implies \lambda_x f(y)=X_1^2+X_1X_2(\begin{bmatrix}a^{-1}t&a^{-1}z-bt^{-1}\\0&at^{-1}\end{bmatrix})=a^{-2}t^2+a^{-2}tz-a^{-1}b$$ entonces cómo habría pensado en $\delta(\lambda_x f)(y)$ ? Entiendo que $\delta\lambda_x f: G\to K$ y por lo tanto no puedo aplicar $\delta$ a $\lambda_x f(y)$ (es decir, cuando ya se ha evaluado) pero sospecho que esto me da una idea?

• ¿Cómo puedo ver $\delta(\lambda_x f)$ ?

(Perdón por el diagrama, por alguna razón no pude conseguir que Tikzcd funcionara aquí - ¿tal vez hay un truco en este sitio web?)

Answer 1

Has calculado $\lambda_x f(y) = a^{-2} t^2 + a^{-2} t z - a^{-1} b$ y como $y = \begin{pmatrix} t & z \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}$ , se puede leer directamente lo que $\lambda_x f$ es simplemente sustituyendo el $t$ y $z$ variables con las funciones de coordenadas: $$\lambda_x f = a^{-2} X_1^2 + a^{-2} X_1 X_2 - a^{-1}b$$ Ahora debería ser fácil aplicar la derivación y comprobar que $\delta$ no es una derivación invariante a la izquierda.

En general, ya que $\lambda_x: K[G] \to K[G]$ es un $K$ -sólo hay que comprobar lo que hace en los generadores, lo que se puede hacer con el mismo método anterior, y obtener $$ \begin{aligned} \lambda_x X_1 &= a^{-1} X_1 \\ \lambda_x X_2 &= a^{-1} X_2 - b X_1^{-1} \\ \lambda_x X_1^{-1} &= a X_1^{-1} \end{aligned} $$

Aunque creo que en general esta es una forma engorrosa de descubrir realmente el álgebra de Lie de $G$ y es mejor mirar el espacio de la tangente en la identidad, y usar esto para averiguar cuál debe ser el paréntesis.