Si $A, B$ y $C$ son conjuntos no vacíos, simplificar $(A\cap B)\cap (B\cap C)\cap (C\cap A)$ .

Question

Si lo resolvemos tomando ejemplos, dejemos $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, C=\{3,4\}$ .

Entonces

$$A\cap B= \{2\}, \quad B\cap C= \{3\}, \quad C\cap A= \emptyset.$$

Así que la intersección con $\emptyset$ siempre estará vacío. Así que la respuesta no debería ser $\emptyset$ ?

La respuesta dada es $A\cap B\cap C$ .

Answer 1

Recuerda esas propiedades:

• $A\cap A = A$
• $(A \cap B )\cap C = A \cap B \cap C = A\cap (B \cap C)$

Entonces: $(A\cap B)\cap (B\cap C)\cap (C\cap A) = A \cap B \cap B \cap C \cap C \cap A$

Así que..: $$=A\cap B\cap C$$

Answer 2

Sólo porque sea cierto para un ejemplo que se obtiene el \emptyset no significa que sea cierto, para cada elección de $A, B, C$ .

Imagínate $A=B=C=\{1\}$ . Entonces la respuesta, sería $\{1\}$ . Puede que quieras intentar probar

$(A∩B)∩(B∩C)∩(C∩A)=A\cap B\cap C$

Es una prueba básica.

Answer 3

\begin{align*} (A \cap B)\cap(B\cap C)\cap(C\cap A) &= A \cap B \cap B \cap C \cap C \cap A &&\text{drop brackets, because of the associativity of the operation } \cap \\ &= A \cap B \cap C \cap A &&B \cap B = B \text{ and } C \cap C = C \\ &= A \cap A \cap B \cap C &&\text{commutativity and associativity: } (A \cap B \cap C) \cap A = A \cap (A \cap B \cap C) \\ &=A \cap B\cap C && A \cap A = A \end{align*}

Considere $A,B,C$ como números y $\cap$ como signo de multiplicación. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Algebra_of_sets

Answer 4

Trate de evaluar $A \cap B$ o $B \cap C$ primero, y luego tomar la intersección de ese conjunto con $C$ o $A$ respectivamente. Debería llegar a la misma conclusión.

Answer 5

Una vez que tienes la inuición de que todo es igual $A \cap B \cap C$ Una prueba "elemento por elemento" puede ser más sencilla:

Dejemos que $x \in A \cap B \cap C$ entonces $x \in A \cap B$ , $x \in A \cap C$ y $x \in B \cap C$

A la inversa, dejemos que $x \in (A \cap B) \cap (A \cap C) \cap (B \cap C)$ . Entonces, $x \in A$ , $x \in B$ y $x \in C$

Por supuesto, es posible que se le haya exigido explícitamente que no proceda así