derivado en $\mathbb{P}$ (interpretación)

Question

¿Puede alguien darme una interpretación de la siguiente notación de una probabilidad?

$\mathbb{P} (X\in \mathrm{d}x)$ con las convenciones habituales.

Answer 1

Normalmente, si se quiere integrar una función medible $f$ con respecto a la distribución de una variable aleatoria $X$ usted escribe $$\int_\Bbb R f(x) \;\Bbb P (X \in dx).$$ Por ejemplo, si quiere calcular el valor esperado de $X$ puedes utilizar esta notación: $$\Bbb E [X]= \int_\Bbb R x \Bbb P (X \in dx).$$ Muy a menudo se puede eludir esta notación (yo nunca la uso):

• Si $F$ es la función de distribución de $X$ entonces $\Bbb E [X] = \int_\Bbb R x \; dF(x)$
• Si se denota la medida inducida por $X$ con $\mu$ entonces $\Bbb E [X] = \int_\Bbb R x \; d\mu(x)$ .
• Si $X$ tiene un pdf $f$ puedes escribir $\Bbb E [X] = \int_\Bbb R x f(x)\;dx$ en su lugar.

Así que hay algunas alternativas. $\Bbb P (X \in dx)$ se utiliza sobre todo si no se quiere introducir ninguna otra notación (como $F,\mu, f$ ).

Editar: Como dijo Did, hay una alternativa que funciona sin introducir ninguna notación: $$\Bbb E [X] = \int_\Bbb R x \; d\Bbb P_X(x),$$ donde $P_X$ es la medida de empuje (o medida de imagen), es decir $\Bbb P_X(A) = \Bbb P (X\in A).$