¿Cómo mostrar que la constante de estructura de SU(3) es invariante?

Question

Entonces supongamos que $f_{ijk}$ es la constante de la estructura antisimétrica de SU(3), y $D^8_{ij}(g)$ es la matriz de la representación adjunta de 8 dimensiones de SU(3), ¿cómo mostrar que $f_{ijk}$=$D^8_{il}(g)$$D^8_{jm}(g)$$D^8_{kn}(g)$$f_{lmn}$ lo cual muestra que la constante de estructura es efectivamente invariante.

Answer 1

Bueno, la relación se mantiene mucho más generalmente que SU(3) para el adjunto. De hecho, puedes verlo por las transformaciones de similitud respectivas del definidor (el 3) en la definición de traza f, $$f_{lek}= \frac{-i}{2} \operatorname{tr} ([\lambda_l,\lambda_j],\lambda_k).$$ Es decir, las transformaciones $\lambda_k\mapsto D^{3~\dagger}(g)\lambda_lD^3(g)$ dejan la traza invariante para matrices unitarias.

Si solo quieres tener seguridad estrictamente dentro del 8, bien, considera la unitaria $$D^8_{il} =\exp(1\!\!1 +i\theta\cdot T^8)_{il}= \delta_{il}+ \theta^a f_{ail} +...$$ Quieres tener seguridad, por ejemplo, de la invarianza al orden más bajo en θ, $$(\delta_{il} +\theta^a f_{ail})(\delta_{jm} +\theta^b f_{bjm})(\delta_{kn} +\theta^c f_{ckn})f_{lmn} = f_{ijk}+ \theta^a (f_{ail}f_{lek}+f_{ajm}f_{imk}+ f_{akn}f_{ion} ) + O(\theta^2).$$ Pero el término O(θ) desaparece por la completa antisimetría de los f y la identidad de Jacobi, $$= f_{ijk} + O(\theta^2),$$ y, por supuesto, a órdenes superiores también, por lo que la expresión se reduce simplemente a $f_{ijk}$, como se preguntó.