Cuánto rigor es necesario?

Question

Estoy tomando un curso de Topología Algebraica. Estamos utilizando Hatcher como un libro de texto. Uno de los principales problemas a los que me estoy enfrentando con el libro de texto es su nivel de rigor. Ejemplo: En la pagina 10, Hatcher menciona de pasada que $X^n/X^{n-1}$ es la cuña de la suma de n-esferas ($X^n$ es el $n^{th}$ filtración de un CW-complejo). Mientras que esto es intuitivamente claro, se requiere un poco de trabajo para probar. Otro ejemplo es la prueba(?) de los Celulares Límite de la Fórmula en la página 141. Mientras yo pueda seguir lo que se dice (y se reproducen en diferentes contextos), me parece una razón para creer que la fórmula en lugar de una prueba de ese hecho, de acuerdo a la idea de la prueba de que yo haya familiarizado con las de cursos anteriores en el Análisis y el Álgebra (también creo que no voy a ser capaz de demostrar este hecho a que el nivel de rigor).

Mi pregunta es: ¿Es este el nivel de rigor aceptable? Me siento incómodo con las pruebas Hatcher da. Pero, debo de sentir incómodo? Mirando hacia atrás, nunca fue incómodo con el tipo de justificaciones que hemos utilizado para dar en la escuela secundaria de cálculo y este incomodidad deriva del hecho de que he tomado algunos cursos en Análisis de en medio.

Answer 1

El matemático alemán Klaus Janich tiene una maravillosa respuesta a esta pregunta en su libro sobre la topología, que es intencionalmente no muy riguroso e intuitiva:

Se dice a menudo contra intuitivo, de ordenación de la argumentación que en realidad no es la argumentación,pero tanta gesticulación-sólo 'handwaving'.Vamos, a continuación, abandonar todos intuitiva argumentos?Ciertamente que no.Como siempre que está respaldado por el estándar de oro de pruebas rigurosas,el dinero de papel de gestos es una ayuda inestimable para la comunicación rápida y la rápida circulación de las ideas.Larga vida a handwaving! (Janich, Topología,página 49,traducción de Silvio Levy)

Más tarde se dijo por Levy que Janich le dijo que este pasaje en particular fue inspirado por Janich las preocupaciones de que la matemática alemana de la academia (y los libros de texto en particular) estaban comenzando a ser demasiado axiomático y anti-visual y que esto estaba afectando a la claridad de las presentaciones de los estudiantes.

Existe, de hecho, mucho de lo que es sabio en esta cita y la verdad es que da lo que yo creo que es un excelente "regla de oro" para determinar cuándo una "prueba" en matemáticas ha cruzado la línea y llegar a ser realmente no rigurosamente vaga por siglo 21 matemática normas para el punto es que realmente no prueba nada: Si la intuitiva argumento no puede ser reescrito completamente en una axiomática y pedante manera donde no es totalmente una progresión lógica de las premisas a una conclusión, a continuación, se debe reconsiderar seriamente si o no nuestra intuitiva argumento es valiosa. Creo que te darás cuenta de que la mayoría de Hatcher argumentos pasar esta prueba,aunque probablemente llevaría a una cantidad considerable de pala trabajo para hacerlos totalmente riguroso en el mismo sentido como un verdadero análisis o prueba de álgebra.Pero desde topología algebraica está tan estrechamente relacionado con la geometría clásica, completamente razonamiento abstracto probablemente tira mucho el entendimiento de las fuentes de la mayoría de los conceptos centrales,que creo que fue Hatcher razón para escribir el texto de esta manera.

(Por desgracia, hay demasiados topología algebraica textos que tomar el inflexible riguroso y no visuales,categórica/functorial perspectiva-como los viejos clásicos por Spanier y Dold y, más recientemente, los hermosos textos y en Mayo de tom Dieck. La desventaja de este enfoque es que se desconecta completamente el tema de es geométrico de las raíces y se convierte simplemente en otra rama del álgebra cuyas raíces son absolutamente misterioso.Nadie bastante parece haber resuelto aún la forma más eficaz de interpolar entre los 2 enfoques en un libro de texto. El más cercano de cualquier persona que llegue a tira de ella para mí es Rotman. )

Por supuesto, como se dijo, esto no es una ciencia exacta. La cuestión de lo que constituye una prueba ha sido constantemente cuestionado y revisado desde los inicios de las matemáticas en el Mundo Antiguo. No tengo ninguna duda de que seguirá a someterse a escrutinio en el futuro las edades. Pero creo que Janich ha dado unos muy buenos consejos para los novatos aquí.

Answer 2

El nivel de rigor que se necesita depende de su propio gusto. Por supuesto, cada matemático debe verificar una reclamación hasta que se sienta cómodo que si es necesario, podría producir el verdadero argumento de abajo para los detalles atómicos. (A menos que usted está tomando algo en la fe a propósito, pero me da la sensación de que no es su intención, sino más bien se quiere entender el material.) Para mí, este nivel de "rigor" requerido se encuentra en algún lugar entre explícitamente escrito todo lo que está en los huesos conjunto teórico de los términos, y el nivel de detalle presentado en un posgrado de análisis de texto, tales como Rudin. Me imagino que tendré que ser más astuto y rápido como puedo ganar más experiencia, ya que voy a conocer los patrones de argumentos.

De todos modos, he leído Hatcher hace tan sólo unos meses para estudiar para un examen de calificación. Los detalles de tus preguntas pueden ser diligente de desenrollado. Sólo tienes que recordar lo que la topología se define como el cociente de los espacios, etc., y entonces es sólo un conjunto teórico de ejercicio. Pregunte si usted necesita ayuda.