El problema con su "extensión foo" es que la estructura de grupo de $H$ ¡no importa! Incluso en el caso finito, estás tratando al "grupo" $H=\mathbb{Z}_k$ (con $k$ el índice de $F$ en $G$ ) como un simple conjunto de índices. Como tal, todo lo que estás haciendo es escoger representantes del coset. Tenga en cuenta que su construcción deja de funcionar si el índice tiene una cardinalidad mayor que $\aleph_0$ ya que un grupo cíclico debe ser necesariamente contable.
Así que... tu noción de "extensión foo" es realmente la de subgrupo/sobregrupo. Usted tiene que $G$ es un extensión foo de $F$ si y sólo si $F$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $G$ es un sobregrupo de $F$ . De hecho, si vas a admitir el axioma de elección, recuerda que bajo el Axioma de Elección, todo conjunto no vacío tiene una estructura de grupo (y de hecho, esto es equivalente al Axioma de la Elección). Así, dado cualquier subgrupo $F$ de un grupo $G$ , dejemos que $X$ sea un conjunto de representantes del coset izquierdo de $F$ en $G$ , eligiendo $e_g$ para el coset $F$ . Dar $X$ una estructura de grupo arbitraria que hace $e_G$ la identidad, $H=(X,\cdot)$ (para ver que esto es posible, dar $X$ un arbitrario estructura de grupo, y luego permutar $e_G$ con la identidadh de la estructura del grupo y utilizar el transporte de la estructura). Ahora define tu mapa $\psi(F,H)\to G$ como $\psi(f,x) = fx$ como tú.
Por el contrario, la existencia de $\psi$ y el requisito de que $\phi=\psi(\cdot,e_H)$ sea un homomorfismo (la inyectividad se deduce del requisito de que $\psi$ sea una biyección) resulta que $F$ es (isomorfo a) un subgrupo.
Así, su concepto de "extensión foo" es idéntico al de subgrupo/sobregrupo.
Ahora bien, su "extensión simétrica foo" es exactamente la misma que la noción habitual de factorización estricta de un grupo: $G=FH$ con $F\cap H=\{e\}$ . De hecho, si puedes expresar $G$ como producto de dos subgrupos, $G=FH$ con $F\cap H=\{e\}$ entonces la biyección $\psi\colon F\times H\to G$ dado por $\psi(f,h) = fh$ es la función deseada; las restricciones de $\psi$ a ambos $F\times\{e\}$ y $\{e\}\times H$ son homomorfismos, ya que $\psi(f_1f_2,e) = f_1f_2 = (f_1e)(f_2e) = \psi(f_1,e)\psi(f_2,e)$ y de forma similar para $\psi(e,h_1h_2)$ . Por el contrario, la existencia de su biyección y el hecho de que la restricción de $\psi$ a $F\times\{e\}$ y a $\{e\}\times H$ son homomorfismos muestra que $G=FH$ con $F$ y $H$ (isomorfo a) subgrupos de $G$ y el hecho de que cada elemento de $G$ es expresable de forma única de esta manera implica que $F\cap H=\{e\}$ .
Sin embargo, no se garantiza la normalidad de ninguno de los dos subgrupos. Para ver un ejemplo de ello, tomemos $G=A_5$ el grupo alterno de $5$ elementos, que tiene el orden $60$ . Sea $F$ sea un subgrupo isomorfo a $A_4$ de orden $12$ por ejemplo, el subgrupo de $A_5$ que arregla $5$ . Sea $H$ sea un subgrupo de orden $5$ por ejemplo, la generada por el $5$ -ciclo $(1,2,3,4,5)$ . Entonces $|FH|=|F||H|/|F\cap H| = 60$ Por lo tanto $FH=A_5$ Sin embargo, ni $F$ ni $H$ son normales en $A_5$ (como $A_5$ es simple).
Añadido. Desde el punto de vista del subgrupo $F$ (o $H$ ) el extensión simétrica de foo es la noción de complemento : dado un grupo $G$ un subgrupo $F$ tiene un complemento si existe un subgrupo $H$ tal que $G=FH$ y $F\cap H = \{e\}$ . Nótese, sin embargo, que los complementos no tienen por qué ser únicos (por encima, cualquier $5$ -ciclo dará un complemento de $H$ en $A_5$ ), y no es necesario que sean isomorfas. Están relacionados con la noción de Producto Zappa-Szep .
Así que no se obtiene la noción habitual de extensión de $F$ por $H$ (¡cuidado con la nomenclatura! A veces se expresa de otra manera; véase la discusión aquí )
Respuesta 0. No creo que puedas expresarlo en la forma que deseas, a menos que pongas condiciones a $\psi$ que codifican artificialmente la normalidad de $F$ . En cuanto a por qué son útiles, sí, son útiles para la descomposición, pero más generalmente, los subgrupos normales están íntimamente conectados con los homomorfismos, y con la noción de congruencia y encajan en un marco mucho más general de Álgebra Universal. Véase esta pregunta anterior .
Respuesta 1. La definición de extensión proporciona algo más de información que decir simplemente que $F\triangleleft G$ . Cuando dices que $G$ es una extensión de $F$ por $H$ , usted está diciendo que $F\triangleleft G$ , y que $G/F$ es isomorfo a $H$ . Es decir, también está describiendo el tipo de isomorfismo del cociente.
La razón de una "definición separada" es que a veces sólo te interesan los subgrupos normales (al estudiar la estructura del grupo, al considerar las congruencias, etc.) pero a veces también te interesa la estructura del cociente (por ejemplo, al hacer cohomología o teoría de la representación). La definición de "normal" sólo te dice un poco sobre cómo $F$ se sienta en el interior $G$ La definición de "extensión de $F$ por $H$ " le dice que más la estructura de $G/F$ .
Y lo que es más importante, uno suele acercarse a la noción de "extensión de $F$ por $H$ " del otros dirección: ya sabes quién $F$ y $H$ son, y lo único que sabes de $G$ es que tiene un subgrupo normal isomorfo a $F$ y el cociente es isomorfo a $H$ . Es decir, usted está tratando de entender $G$ en términos de $F$ y $H$ en la definición de subgrupo normal, se suele ya conozca $G$ .
Respuesta 2. Ya que su "extensión simétrica de foo" equivale a decir que $G$ se puede factorizar como $G=FH$ con $F\cap H=\{e\}$ , si también se añade el requisito de que $F\triangleleft G$ entonces sí, se consigue que una extensión dividida sea equivalente a una "extensión simétrica foo con el requisito de que la imagen de $\psi(\cdot,e) = \phi$ ser normal en $G$ .
Las extensiones divididas son el caso "trivial" de la extensión (dan productos semidirectos ). Al estudiar las extensiones en general, son el caso "fácil".
Tal vez la razón del interés por las extensiones y las extensiones divididas pueda aclararse con un poco de historia.
Schreier propuso un programa para el estudio de los grupos finitos. Una de las claves del programa es lo que se conoce como el Teorema de Jordan-Holder. Dice que todo grupo finito se puede "descomponer" en el siguiente sentido: se puede encontrar una secuencia de subgrupos $$1=N_0\lt N_1\lt N_2\lt N_3\lt\cdots\lt N_k=G$$ tal que $N_i\triangleleft N_{i+1}$ y con $N_{i+1}/N_i$ simple (no tiene subgrupos normales más que el trivial y los subgrupos enteros). Si a continuación se toma el subconjunto de grupos simples $N_{1}/N_0,\ldots,N_k/N_{k-1}$ esta lista es única hasta el orden para cualquier descomposición de este tipo. Así, existe una lista, con multiplicidades, de "subfactores" de $G$ que están determinados de forma única por $G$ como la factorización primaria de los números enteros.
Por ello, Schreier propuso el siguiente programa:
- Describe todos los grupos simples finitos.
- Asumiendo que entendemos $F$ y $H$ , describen todas las posibles extensiones de $F$ por $H$ .
En principio, 2 es un problema finito.
Ahora, hay algunos problemas con esto. La descripción de todos los grupos simples finitos resulta ser bastante compleja (más de diez mil páginas en cientos de artículos de docenas de autores, anunciada por primera vez a principios de los años 80, luego encontrada deficiente y corregida a mediados de los 90, todavía publicada en forma de libro único, actualmente en su "segunda generación", con un esfuerzo de una "tercera generación de pruebas" utilizando sistemas de fusión). Y la descripción de todas las extensiones de $F$ por $H$ también resulta ser bastante complicado. El fácil caso es que cuando la extensión se divide. Todos los demás casos se codifican a través del segundo grupo de cohomología, que es difícil de calcular incluso en el caso "más sencillo" en el que $F$ es abeliano. Pero debido a esta idea de que si puedes describir tanto $F$ y $G/F$ y cómo $F$ y $G/F$ se reúnen, puede obtener información sobre $G$ , tiene usted interés en este tipo de construcciones.
El segundo grupo de cohomología codifica los obstáculos para que la extensión se divida; el elemento trivial corresponde a las extensiones divididas.
