Mostrar para todos los reales $u,v,w$ : $\left|u+v\right|+\left|u+w\right|+\left|w+v\right|\le\left|u\right|+\left|v\right|+\left|w\right|+\left|u+v+w\right|$

Question

Demuestre que para todos los vectores $u,v,w \in \mathbb R^3$ : $$\left|u+v\right|+\left|u+w\right|+\left|w+v\right|\le\left|u\right|+\left|v\right|+\left|w\right|+\left|u+v+w\right|$$ Sé que debemos mostrar que : $$\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(u_{i}+v_{i}\right)^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(u_{i}+w_{i}\right)^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(w_{i}+v_{i}\right)^{2}}$$$$\le\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(u_{i}\right)^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(v_{i}\right)^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(w_{i}\right)^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{3}\left(u_{i}+v_{i}+w_{i}\right)^{2}}$$

¿Es eso cierto?

Pero esta forma parece un poco difícil y lleva mucho tiempo, ¿hay alguna otra forma?

Answer 1

Se puede demostrar mediante un cálculo sencillo (aunque tedioso) que lo siguiente es válido para $u,v,w\in\mathbb{R}^n:$

$$ |u|+|v|+|w|-|u+v|-|v+w|-|w+u|+|u+v+w|=\frac{\sum_{\text{cyc}}(|v|+|w|-|v+w|)\cdot(|u|-|v+w|+|u+v+w|)}{|u|+|v|+|w|+|u+v+w|}$$

Evidentemente, el lado derecho es no negativo debido a la desigualdad del triángulo. Se obtiene el resultado deseado.

$\textbf{Note}$ El subíndice "cyc" indica que la suma es una suma "cíclica"; Supongamos que tenemos una suma cíclica como la siguiente: $$S:=\sum_{\text{cyc}} \:f(a,b,c)$$ Entonces, $S=f(a,b,c)+ f(b,c,a)+ f(c,a,b)$ . Una suma cíclica recorre todos los argumentos del sumando y luego toma la suma de sus valores.