Relación entre $\tanh x$ y $\arctan x$

Question

Las funciones $\tanh x$ y $\arctan x$ tienen un gráfico similar. ¿Existe una fórmula para transformar $\tanh x$ a $\arctan x$ ?

Answer 1

Las dos funciones se parecen en la línea real, pero no son las únicas sigmoidal funciones alrededor. Hay funciones tan simples como $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ y tan complicado como $\dfrac2{\sqrt \pi}\int_0^x e^{-t^2}\mathrm dt$ que también tienen forma de s.

Además, el parecido termina cuando nos fijamos en su comportamiento para complejo argumentos:

El primero posee cortes de rama, mientras que el segundo exhibe periodicidad en el eje imaginario.

Por otra parte, un vistazo a la serie Maclaurin de $\tan\tanh\,z$ y $\mathrm{artanh}\arctan\,z$ da una pista de por qué hay cierto parecido entre $\arctan$ y $\tanh$ :

$$\begin{align*} \tan\tanh\,z&=z-\frac{z^5}{15}+\frac{z^7}{45}-\frac{z^9}{2835}-\frac{13 z^{11}}{4725}+\cdots\\ \mathrm{artanh}\arctan\,z&=z+\frac{z^5}{15}-\frac{z^7}{45}+\frac{64 z^9}{2835}-\frac{71 z^{11}}{4725}+\cdots \end{align*}$$

Answer 2

Existe la identidad $\arcsin(\tanh x) = \arctan(\sinh x)$ si es lo que buscas. Consulte Función gudermanniana en Wikipedia.

Answer 3

No existe ninguna fórmula que "transforme $\tanh x$ a $\arctan x$ "a pesar de que las gráficas de las dos funciones son aparentemente similares: ambas funciones son Impares, están definidas en toda la zona de ${\mathbb R}$ y para $x>0$ son monotónicamente crecientes hasta algún límite finito. Pero ahí acaban las similitudes: En particular

$${\pi\over2}-\arctan(x)\sim{1\over x}\ ,\qquad 1-\tanh(x)\sim 2e^{-2x}$$

cuando $x\to\infty$ . Esto demuestra que el comportamiento asintótico de las dos funciones es completamente diferente.

Como se indica en otras respuestas, $\tan$ y $\tanh$ están relacionadas con la función $\exp$ mientras que $\arctan$ y ${\rm artanh}$ están relacionadas con la función $\log$ , por lo que la transición de las funciones trigonométricas a las hiperbólicas se produce en el dominio complejo.

Answer 4

Sólo son similares en torno al origen porque sus series de Taylor coinciden hasta el cuarto orden, es decir,

$\begin{align*} \tanh(x) &= x -x^3/3 + 2x^5/15 + O(x^7)\\ \arctan(x) &= x - x^3/3 + x^5/5 + O(x^7) \end{align*}$

No creo que haya ninguna razón más profunda por la que se parezcan, ya que una es una función trigonométrica inversa, mientras que la otra es una función hiperbólica (no inversa).

Answer 5

Si define $f(t) = \arctan(\text{arctanh}(t))$ tendrás $f(\tanh(x)) = \arctan(x)$ . $f$ es analítica en $|t|<1$ con la serie Maclaurin $f(t) = t + \frac{t^5}{15} + \frac{t^7}{45} + \frac{64}{2835} t^9 + \frac{71}{4725} t^{11}+ \ldots$