Dejemos que $\mathcal M\subseteq B(\mathcal H)$ sea un álgebra de von Neumann. Entonces, ¿cuál debería ser la definición natural de una subálgebra de von Neumann?
Respuesta
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Yo diría que una subálgebra de von Neumann de un álgebra de von Neumann $\mathcal{M}$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ debe ser al menos un subconjunto $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ que es a su vez un álgebra de von Neumann -o en otras palabras, un álgebra débilmente cerrada $C^*$ -subálgebra de $\mathcal{M}$ . Pero quizás se podría exigir además que $\mathcal{N}$ contiene la unidad de $\mathcal{M}$ (según el contexto).
Esta definición de subálgebra de von Neumann parece (pero no) depender de la elección del espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . De hecho, se puede demostrar (utilizando El lema 1 de este documento de Kadison ) que un $C^*$ -subálgebra $\mathcal{N}$ de un álgebra de von Neuman $\mathcal{M}$ es una subálgebra de von Neumann de $\mathcal{M}$ si y sólo si para todo conjunto dirigido acotado $D$ de elementos autoadjuntos de $\mathcal{M}$ el supremum $\bigvee D$ en $\mathcal{M}$ de $D$ está en $\mathcal{N}$ . Aunque el supremum $\bigvee D$ es sólo el límite fuerte (o débil) de la red $(d)_{d\in D}$ , el supremum $\bigvee D$ no depende de $\mathcal{H}$ (que se define en términos del orden en $\mathcal{M}$ .)
