Línea Tangente, y Derivada

Question

Me dieron la función $f(x)=k\sqrt{x}$ y una línea $y=x+4$ . Necesito encontrar un valor de k tal que la recta sea tangente a la gráfica. He intentado el problema tomando la derivada de la función dada.

Derivado

$$f'(x)=\frac{k}{2\sqrt{x}}$$

Como la pendiente de la recta tangente es $1$ , establezco la derivada igual a $1$ y conseguir:

$$1=\frac{k}{2\sqrt{x}}$$ y luego me sale: $$2\sqrt{x}=k$$

Me parece que voy por el buen camino, pero no tengo ni idea de cómo encontrar una x para asegurarme de que encuentro la k correcta.

Answer 1

Sugerencia para otro enfoque:

La ecuación en $x$ para los puntos de intersección de la parábola y la recta debe tener una raíz doble.

Answer 2

Una pista: Es necesario utilizar la otra información que el $(x,f(x))$ El punto debe estar en la línea tangente.

Answer 3

La ecuación $\displaystyle{k\,\sqrt{\,x\,}\, = x + 4}$ debe tener una sola solución: $$ \left(\,\sqrt{\,x\,}\,\right)^{2} - k\,\sqrt{\,x\,}\, + 4 = 0 \implies \left(\,-k\,\right)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 0\implies k = \pm 4 $$ Desde $\displaystyle{x + 4 > 0}$ cuando $\displaystyle{x \geq 0}$ , debe tomar $\bbox[10px,border:1px groove navy]{\displaystyle{k = 4}}$ .