Mostrar $\lim_{n \to \infty} \int u_n \, d\mu = \int u \, d\mu$ para una secuencia $(u_n)$ de funciones no negativas

Question

Dejemos que $(u_n)_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de funciones positivas y medibles en $\mathcal{M}^+(\mathcal{A})$ , dejemos que $u\in\mathcal{M}^+(\mathcal{A})$ y asumir lo siguiente:

• $u_n(x)\rightarrow u(x)\ \forall x \in X$
• $u_n\leq u \ \forall n$ .

Demostrar que

$\lim_{n\rightarrow \infty} \int u_n\ d\mu = \int u\ d\mu.$

Agradecería un poco de ayuda en este sentido.

Encontré el siguiente corolario en mi libro:

$\int u \ \  d\mu = \lim_{j\rightarrow \infty} \int f_j\ d\mu $

que se mantiene para toda secuencia creciente $(f_j)_{j\in\mathbb{N}}\subset \varepsilon^+$ con $\lim_{j\rightarrow \infty}f_j=u$ .

¿Puedo argumentar que $(u_n)$ es una sucesión creciente y luego simplemente se remite al corolario? No se afirma que $(u_n)$ está en $\varepsilon^+$ pero no estoy seguro de estar en el camino correcto.

Answer 1

Pistas:

1. Por la monotonicidad de la integral, $$\int u_n \, d\mu \leq \int u \, d\mu$$ para cada $n \in \mathbb{N}$ . Esto implica $$\limsup_{n \to \infty} \int u_n \, d\mu \leq \int u \, d\mu. \tag{1}$$
2. Por supuesto, $u_n$ es no negativo. Utilizando el lema de Fatou y $$\int u \, d\mu = \int \liminf_{n \to \infty} u_n \, d\mu$$ demostrar que $$\int u \, d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int u_n \, d\mu. \tag{2}$$
3. Combine $(1)$ y $(2)$ para mostrar $$\int u \, d\mu = \liminf_{n \to \infty} \int u_n \, d\mu = \limsup_{n \to \infty} \int u_n \, d\mu.$$ Concluya.