Dado $2xf(x)+(x-3)f(\frac{1}{1-x})=4x^2-10x-\frac{1}{2}$ , encontrar $f(x)$ .

Question

Dado $$2xf(x)+(x-3)f\left(\frac{1}{1-x}\right)=4x^2-10x-\frac{1}{2}$$ Encuentre $f(x)$ .

Es la primera vez que veo este tipo de preguntas, no tengo ni idea. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Una pista: En igualdad de condiciones $$ 2xf(x)+(x-3)f\left(\frac{1}{1-x}\right)=4x^2-10x-\frac{1}{2}\tag{1} $$ hacer cambio de variables $x\to 1/(1-x)$ para conseguir $$ \frac{2}{1-x}f\left(\frac{1}{1-x}\right)+\frac{3x-2}{1-x}f\left(\frac{x-1}{x}\right)=-\frac{x^2-22x+13}{2(1-x)^2}\tag{2} $$ y hacer el mismo cambio una vez más para obtener $$ \frac{2 (x-1)}{x}f\left(\frac{x-1}{x}\right)-\frac{(2 x+1) f(x)}{x}=\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x}-\frac{13}{2}\tag{2} $$ Desde $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ puedes encontrar $$ f(x)\qquad f\left(\frac{1}{1-x}\right)\qquad f\left(\frac{x-1}{x}\right) $$