Una retracción de un grupo residualmente finito es separable

Question

Cómo demostrar que si $G$ es residualmente finito, entonces una retracción $R$ de $G$ satisface la condición de que la intersección de todo subgrupo indexado finito de $G$ que contiene $R$ Es igual a $R$ mismo, es decir $$ \bigcap_{ R \leq H \leq G,\ |G:H| finite} H =R?$$

Answer 1

Escriba $G=R\ltimes N$ . Sea $(M_i)$ sea una familia de subgrupos normales de índice finito con intersección finita. Definir $N_i=M_i\cap N$ : este es un subgrupo normal de $G$ contenida con índice finito en $N$ . Así que $N_iH=HN_i$ es un subgrupo. De ello se deduce que $\bigcap HN_i=H$ ad $HN_i$ tiene un índice finito en $G$ .