¿Convergen estas variables aleatorias a 0?

Question

Supongamos una secuencia $U_n$ de variables aleatorias satisface las siguientes condiciones: Para cada $n$ ,

$$P(U_n = 1) = 1/n$$ y $$P(U_n = 0) = 1 - 1/n.$$

¿Puede alguien decirme si esto converge casi seguramente a 0? Sé que converge a 0 en $L_1$ . Yo diría que también converge a 0 a.s porque $P(U_n = 0) = 1- 1/n \to 1$ , que creo que es consistente con la definición de convergencia de a.s, pero aparentemente según algún ejercicio estoy equivocado.

¿Puede alguien decirme qué es lo correcto?

Answer 1

Dejemos que $\Omega=[0,1]$ dotado de la Borel $\sigma$ -y la distribución uniforme. Definir inductivamente dos secuencias $a_n$ y $b_n$ tal que $a_n=0$ , $b_1=1$ , $a_{n+1}=b_n$ $b_{n+1}=a_{n+1}+1/n\textrm{ mod } 1$ . Para cualquier $n$ , si $a_n<b_b$ dejar $U_n(\omega)=1$ si $\omega\in[a_n,b_n]$ y $0$ de lo contrario. Si $a_n>b_n$ dejar $U_n(\omega)=1$ si $\omega\geq a_n$ o $\omega\leq b_n$ y $0$ de lo contrario. Puede comprobar que esto satisface sus suposiciones, pero para todo $\omega$ , $U_n(\omega)=1$ para un número infinito de $n$ . Esto último se desprende de la divergencia de la serie armónica .

Answer 2

Este es un ejemplo típico para demostrar que la convergencia casi segura es una propiedad fuerte: esta secuencia no converge a.s, aunque converja (a cero) en probabilidad.

Para obtener una visión informal: imagine que tiene muchas (digamos, 1000) realizaciones de este proceso. Pregúntate cuántas de estas realizaciones convergerán a 0. Recuerda que, para cada realización fija, lo que tenemos es una secuencia numérica simple, por lo que ahora estamos hablando de la convergencia de la secuencia común (no aleatoria). Pero nuestras secuencias se componen de 0 y 1; por tanto, una secuencia convergerá a cero sólo si tiene un número finito de unos; es decir, si $\exists n_j,$ $x[n_j]=1; x[n]=0 , n>n_j$ . La intuición dice que no es muy probable que esto ocurra en la mayoría de nuestras 1000 realizaciones; en realidad, al contrario, es extremadamente improbable que ocurra alguna vez.

Podemos calcular la probabilidad explícitamente (esto no es necesario, ni siquiera habitual, para demostrar/desmentir la convergencia). Sea $A_k$ sea el evento $x[k]=1; x[n]=0 , n>k$ . Al telescopiar el producto obtenemos que cada probabilidad (para un $k$ ) es cero:

$$P(A_k)= \frac{1}{k} \prod_{n=k+1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n} \right)= \frac{1}{k} \frac{k}{k+1}\frac{k+1}{k+2} \cdots = 0$$

La probabilidad de convergencia es $\sum_k P(A_k)$ pero la unión (contable) de sucesos de probabilidad cero tiene probabilidad cero. Por lo tanto, la probabilidad no es uno (como deberíamos haber obtenido, si la convergencia fuera casi segura), sino, por el contrario, cero.