¿Por qué hay dos versiones diferentes de la media y la varianza para las distribuciones binomiales negativas?

Question

En un sitio de pruebas wiki, he visto estas fórmulas utilizadas para la media y la varianza:

$E[X] = \frac{rp}{1-p}$ y $Var[X] = \frac{rp}{(1-p)^2}$ . Sin embargo, en el sitio de Penn State, tienen estas dos fórmulas diferentes: $E[X] = \frac{r}{p}$ y $Var[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}$ .

Answer 1

Dos de los problemas:

• ¿Es la binomial negativa la distribución del tiempo de espera hasta un número determinado de "éxitos" o hasta un número determinado de "fracasos"?
• ¿Es el número de ensayos necesarios para obtener el número especificado de "éxitos" (o, en su caso, de "fracasos") o es el número de ensayos que no ¿se produce ese número de éxitos, o de fracasos, antes de que se produzca ese número de "éxitos" o "fracasos"?

Así que tenemos cuatro posibilidades:

• Es el número de pruebas necesarias para conseguir $r$ éxitos. Entonces tenemos $$ \mathbb E(X) = \frac rp, \quad \operatorname{var}(X) = \frac{rp}{(1-p)^2}. $$
• Es el número de fallos antes de que el $r$ de éxito. Entonces tenemos $$ \mathbb E(X) = r\frac{1-p}{p},\quad \operatorname{var}(X) = \frac{rp}{(1-p)^2}. $$
• Es el número de pruebas necesarias para conseguir $r$ fallos. Entonces tenemos $$ \mathbb E(X) = \frac r{1-p}, \quad \operatorname{var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}. $$
• Es el número de éxitos antes de que el $r$ de la falla. Entonces tenemos $$ \mathbb E(X) = \frac{rp}{1-p},\quad \operatorname{var}(X) = \frac{rp}{(1-p)^2}. $$

Una de las ventajas de verlo como el número de aciertos antes de la $r$ o como el número de fallos antes del $r$ es que entonces es una distribución infinitamente divisible, y se extiende naturalmente al caso en que $r$ no es un número entero. En ese caso se apoya en el conjunto $\{0,2,3,4,\dots\}$ . En los demás casos se apoya en el conjunto $\{r,r+1,r+2,r+3,\dots\}$ .

Answer 2

Es una cuestión semántica sobre el significado de "éxito" (normalmente $p$ en el contexto de una distribución binomial) y "fracaso" (típicamente $q=1-p$ ). Si se invierte el significado en el contexto del binomio negativo, se obtendrá el mismo resultado, una vez que se intercambie $p$ con $1-p$ .

Así que, viste lo mismo (asumiendo que realmente viste $E[X] = \frac{r}{p}-1$ ).