Me he dado cuenta de que al intentar evaluar el $n$ polinomio ciclotómico en $1$ , $\Phi_n(1)$ nos encontramos con un problema al utilizar la fórmula explícita $\Phi_n(x)=\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}$ . En particular, $$\Phi_n(1)=\prod_{d|n}(1^d-1)^{\mu(n/d)}=\prod_{d|n}0=0?$$ Esto no es cierto, ya que $\Phi_n(1)$ es $1$ para todos los enteros $n>1$ tal que $n$ no es una potencia de un primo y $\Phi_n(1)=p$ si $n=p^k$ (Demostrado como un lema aquí ). ¿Alguien puede explicar qué está pasando aquí? Se agradece cualquier ayuda.
Respuesta
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La respuesta está en $\mu(n/d)$ . En particular $\mu(p) = -1$ para cualquier primo p. Como n/d es ciertamente un número primo para alguna elección de d, tenemos que $\mu(n/d) = -1$ para alguna elección de d|n. Entonces tenemos una función racional cuyo denominador evalúa a 0 en 1, por lo que $x = 1$ no está en el dominio de esta función.
Espero que eso ayude.
