Dado que $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}~,$$ cómo puedo demostrar que $f$ es convexo.
Gracias.
Editar: Siento la confusión. $f$ se supone que es continua en un intervalo $(a,b)$ .
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user170544
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No se puede. Al menos, no sin asumir que $f$ es continua.
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La mensurabilidad de Lebesgue es suficiente @WillieWong. Este es un teorema de Sierpinski. (Si no recuerdo mal).
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El truco en el caso continuo es establecer $z = \frac{p}{2^{n + 1}} x + \frac{q}{2^{n + 1}} y$ con $p + q = 2^{n + 1}$ y proceder por inducción.
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¿Me equivoco? Asumiendo la continuidad, ¿no es esa la definición de convexidad? (aunque casualmente también se llama desigualdad de Jensen)
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@picakhu: La convexidad es que $f(t_1x+t_2y)\leq t_1f(x) + t_2f(y)$ cuando $t_1+t_2=1$ - es decir, todo el segmento de línea entre $(x,f(x))$ y $(y,f(y))$ está "por encima" del gráfico de $f$ .
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@Thomas, me corrijo. Gracias.
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@Jonas: correcto. Debería haber dicho "... algo así como ' $f$ es continua' ". El contraejemplo obvio es, por supuesto, que no es medible por Lebesgue. Gracias por la corrección.
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Véase también: Si $f$ es continua y $\,f\big(\frac{1}2(x+y)\big) \le \frac{1}{2}\big(\,f(x)+f(y)\big)$ entonces $f$ es convexo
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También puede ver el siguiente documento para una prueba por contradicción. cs.cmu.edu/~suvrit/teach/10801_lecture2.pdf