Es la variación total de una medida vectorial $\mu$ una medida (clásica), incluso cuando $\mu$ no es de variación acotada?

Question

Dejemos que

• $(\Omega,\mathcal A)$ sea un espacio medible
• $E$ ser un $\mathbb R$ -Espacio Banach
• $\mu:\mathcal A\to E$ con $\mu(\emptyset)=0$ y $$\mu\left(\biguplus_{n\in\mathbb N}A_n\right)=\sum_{n\in\mathbb N}\mu(A_n)\tag1$$ para todos los casos disjuntos $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathcal A$

Ahora, dejemos que $$|\mu|(A):=\sup\left\{\sum_{i=1}^n\left\|\mu(A_i)\right\|_E:n\in\mathbb N\text{ and }A_1,\ldots,A_n\in\mathcal A\text{ are disjoint with }\biguplus_{i=1}^nA_i\subseteq A\right\}$$ para $A\in\mathcal A$ . He leído en una nota de conferencia que $|\mu|$ es una medida sobre $(\Omega,\mathcal A)$ , si $|\mu|(\Omega)<\infty$ . ¿Qué es lo que falla si $|\mu|(\Omega)=\infty$ ?

Dejemos que $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathcal A$ sean disjuntos y $A:=\biguplus_{n\in\mathbb N}A_n$ . En primer lugar, es fácil ver (y eso incluso se dice en esa nota de la conferencia) que $$\sum_{n\in\mathbb N}|\mu|(A_n)\le|\mu|(A)\tag2\;.$$ Por lo tanto, el problema debe ocurrir en la prueba de la otra desigualdad:

• Dejemos que $k\in\mathbb N$ y $B_1,\ldots,B_k\in\mathcal A$ sea disjunta con $$\biguplus_{i=1}^kB_i\subseteq A\tag3$$
• Entonces, $(A_n\cap B_i)_{n\in\mathbb N}$ es disjunta con $$\biguplus_{n\in\mathbb N}(A_n\cap B_i)=B_i\tag4$$ para todos $i\in\left\{1,\ldots,k\right\}$ y $A_n\cap B_1,\ldots,A_n\cap B_k$ son disjuntos con $$\biguplus_{i=1}^k(A_n\cap B_i)\subseteq A_n\tag5$$ para todos $n\in\mathbb N$
• Así, \begin{equation}\begin{split}\sum_{i=1}^k\left\|\mu(B_i)\right\|_E&=\sum_{i=1}^k\left\|\mu\left(\biguplus_{n\in\mathbb N}(A_n\cap B_i)\right)\right\|_E=\sum_{i=1}^k\left\|\sum_{n\in\mathbb N}\mu(A_n\cap B_i)\right\|_E\\&\le\sum_{i=1}^k\sum_{n\in\mathbb N}\left\|\mu(A_n\cap B_i)\right\|_E\\&=\sum_{n\in\mathbb N}\sum_{i=1}^k\left\|\mu(A_n\cap B_i)\right\|_E\le\sum_{n\in\mathbb N}|\mu|(A_n)\end{split}\tag6\end{equation}
• $(6)$ debería producir inmediatamente $$|\mu|(A)\le\sum_{n\in\mathbb N}|\mu|(A_n)\tag7$$

Por $(2)$ y $(7)$ obtenemos el $\sigma$ -adecuación de $|\mu|$ . Por lo tanto, $|\mu|$ es una medida (claramente, no una medida finita, pero eso no se afirmó). Entonces, ¿hay algo malo en mi prueba?

Answer 1

De hecho, la variación total de una medida vectorial valorada en Banach es siempre una medida, como tú dices. Lo que puede ocurrir es que $\|\mu\|$ tiene "átomos pesados", es decir, conjuntos medibles y no nulos $A\in\mathcal{A}$ tal que cualquier medida $B\subset A$ es $\|\mu\|$ -nula o $\|\mu\|$ -infinito. El espacio $\Omega$ mismo puede resultar un "átomo pesado", por lo que la imagen de $\|\mu\|$ como función se reduce a $\{0,+\infty\}$ . Tal vez las notas de la conferencia querían descartar estas situaciones de alguna manera patológicas.