¿Existen modelos gráficos para otros espacios de módulo?

Question

Recordemos que un grafo cinta es un grafo con un ordenamiento cíclico en cada vértice y tal que cada vértice tiene valencia mayor o igual a 3. Este ordenamiento cíclico da exactamente la información para engrosar el grafo a una superficie con frontera y por lo tanto tiene sentido hablar de las componentes de frontera de un grafo cinta.

Podemos convertir estos gráficos de cinta en una categoría $\mathsf{RibbonGr}$ exigiendo que los morfismos sean aquellos morfismos suryentes de los grafos subyacentes que colapsen los árboles preservando los ciclos de frontera. Se trata de un teorema de Strebel-Penner-Kontsevich-Igusa (subpregunta extra: ¿es ésta la atribución correcta?) según el cual la realización geométrica de $\mathsf{RibbonGr}$ es equivalente en homotopía a la unión disjunta de los espacios de moduli de las superficies compactas de Riemann con límite sobre el conjunto de clases de isomorfismo de las superficies compactas de Riemann de género $g$ y $n$ componentes fronterizos excepto $(g,n) = (0,0), (0,1), (0,2)$ .

Me gusta llamar a esto el modelo gráfico de los espacios de moduli . Puede extenderse para incluir las etiquetas en los gráficos de cinta y las superficies de Riemann, por ejemplo, en el trabajo de Godin sobre las operaciones de cadena superior. Sin embargo, este teorema me hizo preguntarme: ¿existen otras generalizaciones de este teorema? ¿Existen otras categorías de grafos o alguna generalización (de mayor dimensión) de los grafos que se realicen geométricamente a espacios homotópicos equivalentes a los espacios de moduli?

Answer 1

Los automorfismos exteriores de los grupos libres tienen un espacio racional de clasificación dado por los grafos métricos, llamado "espacio exterior", descrito por primera vez en un trabajo de Culler y Vogtmann. La cohomología racional de Out $(F_n)$ está dada por un complejo de cadenas de "grafos de Lie", que son similares a los grafos de cinta. Un grafo de cinta tiene un ordenamiento cíclico en cada vértice, que en realidad es un pequeño elemento de la operada asociativa. Un grafo de Lie tiene sus vértices etiquetados por elementos de la operada de Lie. Véase mi artículo conjunto con Karen Vogtmann "Sobre un teorema de Kontsevich" para una descripción de esta construcción. Estos dos ejemplos son un caso general de homología de grafos, que puede definirse para cualquier operada cíclica en la categoría de espacios vectoriales.

Como menciona Domenico, Galatius trabajó con un espacio clasificatorio integral para calcular la homología estable de Out $(F_n)$ que es un poco más complicado que el espacio clasificador racional. Se define en términos de grafos incrustados en $\mathbb R^\infty$ .

Answer 2

Sí, los gráficos surgen en varios contextos de módulos con bastante frecuencia. Como indican las dos respuestas anteriores, $Out(F_n)$ está estrechamente relacionado con los gráficos. Esto se remonta al artículo original de Vogtmann y Culler en el que se introdujo por primera vez el espacio exterior. $BOut(F_n)$ se puede modelar como el espacio de moduli de los grafos métricos con primer número de Betti igual a $n$ . Si se considera el espacio de moduli de los grafos como un orbifolio entonces éste tiene el tipo de homotopía integral correcto (pero si se toma el espacio cociente grueso entonces es sólo un espacio clasificador racional porque $Out(F_n)$ actúa en el espacio exterior con estabilizadores finitos).

Dada una operada cíclica $P$ en la categoría de espacios topológicos se puede hablar del espacio de grafos con vértices etiquetados por $P$ . Un gráfico ordinario es lo mismo que un $Comm$ -ya que la operada cíclica conmutativa es sólo un punto en cada aridad. Un grafo de cinta es lo mismo que un $Assoc$ -grafo etiquetado ya que en aridad cíclica $n$ la operada cíclica asociativa es el conjunto de oderaciones cíclicas sobre $n$ cartas.

Así que el trabajo de Culler-Vogtmann puede interpretarse como que $BOut(F_n)$ es el espacio de moduli de rango $n$ $Comm$ -gráficos. Los espacios de moduli de las superficies de Riemann con puntos marcados son homotópicamente equivalentes a los espacios de $Assoc$ -gráficos. Existen otros resultados de este tipo. Un grafo de Mobius es como un grafo de cintas pero con aristas que pueden tener un medio giro; son los mismos que los grafos etiquetados por la operada cíclica $InvAss$ para álgebras asociativas con una involución (quizás podría llamarse la operada asociativa hermitiana). Los espacios de grafos de Mobius son homotópicamente equivalentes a los espacios de moduli de las superficies con estructura de Klein (una versión no orientada de la estructura compleja), o equivalentemente, a los espacios clasificatorios de los grupos de clases de mapeo de las superficies no orientables. Otro resultado de este tipo es que el espacio de grafos etiquetados por la operada cíclica de los pequeños discos enmarcados es equivalente en homotopía al espacio de moduli de los cuerpos de mango orientados de 3 dimensiones.

Para ampliar algunos de los comentarios de Jim un poco más: La conexión con la homología de los grafos es la siguiente. Primero hay que saber que existe un functor de dualidad para las operadas cíclicas en los complejos de cadenas. A veces se llama dg-dualidad, y a veces se llama construcción de Bar o dualidad de Koszul. (En sentido estricto, la dualidad viene dada por una construcción de barra que produce una cooperada cíclica, seguida de la aplicación de la dualidad lineal para volver a convertirla en una operada cíclica; esta construcción coincide hasta el cuasi isomorfismo con la construcción de dualidad de Koszul para operadas cíclicas que son Koszul). La operada cíclica asociativa es autodual. La operada cíclica conmutativa es dual a la operada cíclica de Lie.

El teorema general es que si $P$ es una operada cíclica en espacios topológicos, entonces $C_*P$ es una operada cíclica en complejos de cadena con doble $D(C_*P)$ y $D(C_*P)$ -calcula la cohomología del espacio de $P$ -etiquetado de gráficos. Por eso $Lie$ La homología del grafo calcula la cohomología de $Out(F_n)$ y $Ass$ La homología gráfica calcula la cohomología de los espacios de moduli de las superficies de Riemann.

Answer 3

En cierto sentido, cada espacio topológico $X$ es un espacio de moduli: es el espacio de moduli para el functor de mapas continuos a $X$ . Por lo tanto, siempre hay un problema tautológico de módulos resuelto por la realización geométrica de cualquier categoría (y en particular por la realización geométrica de una categoría de grafos).

Por tanto, interpreto la pregunta de la forma "¿hay ejemplos de problemas de módulo/espacios clasificatorios a priori no relacionados con las categorías de grafos que al final resulten ser homotópicamente equivalentes a las realizaciones geométricas de una categoría de grafos?". Con esta interpretación, creo que la realización geométrica de cobordes de grafos que aparece en el trabajo de Soren Galatius sobre homología estable de grupos de automorfismo de grupos libres (arXiv:math/0610216) es un buen ejemplo.