Trigamma identidad $4\,\psi_1\!\left(\frac15\right)+\psi_1\!\left(\frac25\right)-\psi_1\!\left(\frac1{10}\right)=\frac{4\pi^2}{\phi\,\sqrt5}.$

Question

Yo de forma heurística descubierto la siguiente identidad para el trigamma función, que no he podido encontrar en las tablas o documentos o inferir, a partir de las fórmulas (por ejemplo, [1], [2], [3], [4], [5], [6]): $$4\,\psi_1\!\left(\frac15\right)+\psi_1\!\left(\frac25\right)-\psi_1\!\left(\frac1{10}\right)=\frac{4\pi^2}{\phi\,\sqrt5}.\tag1$$ También parece ser desconocido para Mathematica, pero numéricamente cheques con al menos $20000$ dígitos decimales. Podría ser comprobable a través de algunas aplicaciones de la reflexión y la multiplicación de teoremas, pero yo no podía hacer esto.

Por favor, sugiera cómo demostrarlo.

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Actualización: Otra identidad es $$3\,\psi_1\!\left(\frac1{12}\right)-30\,\psi_1\!\left(\frac13\right)=120\,G+\left(6\sqrt3-8\right)\pi^2.\tag2$$

Answer 1

Considere la posibilidad de la multiplicación de la fórmula para la función polygamma $$ \psi_n(mz)=\frac{1}{m^{n+1}}\sum_{k=0}^{m-1}\psi_n\left(z+\frac km\right)\quad;\quad\text{para}\ n\ge1\tag1 $$ y su reflexión fórmula $$ \psi_n(1-z)+(-1)^{n+1}\psi_n(1-z)=(-1)^n\pi\frac{d^n}{dz^n}\cuna\pi z.\tag2 $$ El uso de $(1)$ mediante el establecimiento $n=1,\ m=2,$$z=\dfrac1{10}$, obtenemos \begin{align} \psi_1\left(\frac15\right)&=\frac{1}{4}\left[\psi_1\left(\frac1{10}\right)+\psi_1\left(\frac35\right)\right]\\ \psi_1\left(\frac35\right)&=4\psi_1\left(\frac15\right)-\psi_1\left(\frac1{10}\right)\tag3 \end{align} a continuación, el uso de $(3)$ y con la ayuda de $(2)$, obtenemos \begin{align} 4\psi_1\left(\frac15\right)+\psi_1\left(\frac25\right)-\psi_1\left(\frac1{10}\right)&=\psi_1\left(\frac35\right)+\psi_1\left(\frac25\right)\\ &=-\pi\left.\frac{d}{dz}\cot\pi z\right|_{z=\frac25}\\ &=\frac{8\pi^2}{5+\sqrt{5}}\\ &=\frac{4\pi^2}{\phi\sqrt{5}}.\tag{Q.E.D.} \end{align}

Answer 2

Voy a utilizar sólo el estándar de la reflexión y la duplicación de las identidades: \begin{align} &\psi_1(z)+\psi_1(1-z)=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z},\\ &\psi_1(z)+\psi_1\bigl(z+\text{%#%#%}\bigr)=4\psi_1(2z). \end{align} Utilizar la primera de ellas para reemplazar $\frac12$$\psi_1\bigl(\frac1{10}\bigr)$. A continuación, utilice el segundo para reemplazar $ -\psi_1\bigl(\frac9{10}\bigr)+\displaystyle\frac{\pi^2}{\sin^2\frac{\pi}{10}}$ $\psi_1\bigl(\frac25\bigr)+\psi_1\bigl(\frac{9}{10}\bigr)$ . Finalmente, el uso de la primera a la segunda vez para reemplazar a $4\psi_1\bigl(\frac45\bigr)$$4\psi_1\bigl(\frac15\bigr)+4\psi_1\bigl(\frac45\bigr)$. De esta manera se obtiene $\displaystyle\frac{4\pi^2}{\sin^2\frac{\pi}{5}}$$ y el resto es sencillo.

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En cuanto a la segunda identidad, vamos a utilizar, además de que $$4\psi_1\left(\frac15\right)+\psi_1\left(\frac25\right)-\psi_1\left(\frac1{10}\right)=\frac{4\pi^2}{\sin^2\frac{\pi}{5}}-\frac{\pi^2}{\sin^2\frac{\pi}{10}},$\frac{k}3$$\sum_{k=0}^2\psi_1\bigl(z+\text{$\frac{k}4$}\bigr)=9\psi_1(3z),\qquad \sum_{k=0}^3\psi_1\bigl(z+\text{$$ Esto permite a escribir $}\bigr)=16\psi_1(4z).$$ $$\psi_1\left(\frac1{12}\right)+\psi_1\left(\frac5{12}\right)+\psi_1\left(\frac3{4}\right)=9\psi_1\left(\frac14\right),$$ La adición de las dos identidades, nos encontramos con $$\psi_1\left(\frac1{12}\right)+\psi_1\left(\frac13\right)+\psi_1\left(\frac7{12}\right)+\psi_1\left(\frac5{6}\right)=16\psi_1\left(\frac13\right).$$ Ahora usando dos veces el reflejo de la fórmula, podemos reescribir el pasado identidad como $$2\psi_1\left(\frac1{12}\right)+\frac{\pi^2}{\sin^2\frac{5\pi}{12}}+4\psi_1\left(\frac23\right)+\psi_1\left(\frac34\right)=9\psi_1\left(\frac14\right)+16\psi_1\left(\frac13\right).$$ o, de manera equivalente, $$2\psi_1\left(\frac1{12}\right)+\frac{\pi^2}{\sin^2\frac{5\pi}{12}}+\frac{4\pi^2}{\sin^2\frac{2\pi}{3}}+\frac{\pi^2}{\sin^2\frac{3\pi}{4}}=10\psi_1\left(\frac14\right)+20\psi_1\left(\frac13\right),$$ Ahora basta con utilizar la fórmula (4) de aquí.