Límite de la intersección de dos conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^n$

Question

Dejemos que $A,B$ sean subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ .

¿Se mantiene la siguiente igualdad?

$$\partial(A\cap B)= (\bar A \cap \partial B) \cup (\partial A \cap \bar B)$$

Edición: Gracias por mostrarme en las respuestas que la fórmula anterior falla si $A$ y $B$ son disjuntos, pero sus límites aún se cruzan. He conseguido una fórmula similar que evita este caso $$[\partial(A\cap B)]\setminus(\partial A \cap \partial B)= (A \cap \partial B) \cup (\partial A \cap B),$$ que pude probar y es suficiente para lo que necesito hacer.

Sin embargo, al demostrar que $ (A \cap \partial B) \cup (\partial A \cap B)\subseteq \partial(A\cap B)$ En el caso de la topología, necesitaba suponer que la topología es inducida por una métrica. Me pregunto si la fórmula sigue siendo válida en un espacio topológico arbitrario.

Answer 1

Esto no es cierto en general, a menos que $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ . \begin{align} \partial (A\cap B)&= \overline{A\cap B}-(A\cap B)^{o} \\ &=(\overline{A}\cap \overline{B})-(A^{o}\cap B^{o}) \\ &=(\overline{A}\cap \overline{B})\cap(A^{o}\cap B^{o})^c \\ &=(\overline{A}\cap \overline{B})\cap(A^{o^c}\cup B^{o^c}) \\ &=(\overline{A}\cap \overline{B}\cap A^{o^c})\cup(\overline{A}\cap \overline{B}\cap B^{o^c}) \\ &=(\overline{A}\cap \partial B)\cup (\overline{B}\cap \partial A) \end{align} Por este puesto , $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ implica un espacio discreto. Así que esto es imposible en $\Bbb{R}^n$ . Sin embargo, podemos demostrar en general $$ \partial(A\cap B)\subset (\bar A \cap \partial B) \cup (\partial A \cap \bar B) $$ porque siempre es cierto que $\overline{A\cap B}\subset \overline{A}\cap \overline{B}$ . Esto se puede hacer fácilmente sustituyendo " $=$ " con " $\subset $ " en la segunda línea de la prueba anterior y el resto sigue.

Answer 2

No se sostiene. Consideremos por ejemplo $$A=\{x\in \mathbb{R}^n:|x|<1\}$$ y $$B=\{x\in \mathbb{R}^n:|x-(2,0,\dots,0)|<1\}.$$ Desde $A\cap B=\varnothing$ , $\partial(A\cap B)=\varnothing$ pero el lado derecho de su fórmula es el conjunto $\{(1,0,\dots,0)\}$ .

Answer 3

Si $A$ es denso y codenso en el espacio no vacío $X$ (es decir, $X$ \ $A$ también es denso en $X$ ), supongamos $B=X$ \ $A.$ Entonces $\emptyset=A\cap B=\partial (A\cap B)$ pero $\bar A=\bar B=\partial A=\partial B=X\ne \emptyset.$

Por ejemplo, con $X= \mathbb R^n$ dejar $A$ sea el conjunto de puntos con coordenadas racionales.