Relación entre el tipo de orden infinito $\Theta$ y $\omega$

Question

Quiero entender en caso de que si $\Theta$ es un tipo de orden infinito arbitrario, por lo que tenemos $\omega \preceq \Theta$ o $\omega \preceq\Theta^*$ .

Dónde $\Theta^*$ es el reverso del tipo de orden $\Theta$ .

Answer 1

He aquí un posible argumento. Demostramos que si $\Theta$ es infinito, o bien $\omega$ o $\omega^*$ se incrusta en $\Theta$ .

Si $\Theta$ no contiene ningún elemento mínimo, entonces $\omega^*\prec\Theta$ . Si no contiene ningún elemento máximo, entonces $\omega\prec\Theta$ . Sea $m,M$ son los elementos mínimo y máximo, y definimos $I_0 = [m,M]$ . Desde $\Theta$ es infinito, podemos elegir algún $x_1$ tal que $m < x_1 < M$ . Uno de los intervalos $[m,x_1],[x_1,M]$ es infinito; elija uno arbitrariamente y llámelo $I_1$ . De este modo, podemos definir una secuencia infinita de intervalos $I_0 \supset I_1 \supset \cdots$ .

Uno de los siguientes debe tener una frecuencia infinita: $I_{t+1}$ es el subintervalo izquierdo de $I_t$ o $I_{t+1}$ es el subintervalo derecho de $I_t$ . En el primer caso, $\omega^* \prec \Theta$ (considere los extremos derechos de los intervalos $I_{t+1}$ ), y en el segundo, $\omega \prec \Theta$ (considere los extremos izquierdos de los intervalos $I_{t+1}$ ).

Answer 2

Dejemos que $<$ sea un orden lineal en un conjunto infinito $S$ . Para $p\in S$ dejar $p^+=\{q\in S: p<q\}$ y $p^-=\{q\in S:q<p\}.$

Ahora WLOG deja que $p_0\in S$ tal que $p_0^+$ es infinito. (Si no hay tal $p_0$ existe, trabaja con el orden inverso $<^*.$ )

Supongamos que existe $q\in p_n^+$ tal que $q^+$ es infinito. Entonces dejemos que $p_{n+1}$ sea algo así como $q.$

Si esto no produce una secuencia infinita estrictamente creciente $(p_n)_{n\in \omega},$ entonces existe $n_0$ tal que $p_{n_0}^+$ es infinito, pero tal que $q^+$ es finito para todo $q\in p_{n_0}^+.$

En ese caso, para cualquier $q\in p_{n_0}^+$ el conjunto $ p_{n_0}^+\cap q^-$ es infinito, así que toma $q_0\in p_{n_0}^+,$ y elija $q_{n+1}\in p_{n_0}^+\cap q_n^-.$ Esto da una secuencia estrictamente decreciente $(q_n)_{n\in \omega}.$