Un criterio para obtener los pies de dos altitudes de un triángulo agudo

Question

$\triangle{ABC}$ es un triángulo agudo, y $R$ es el pie de la altitud desde $C$ . Si $H$ y $K$ son los reflejos de $R$ a través de $\overline{\mathit{BC}}$ y $\overline{\mathit{AC}}$ respectivamente, y si $P$ y $Q$ son las intersecciones de $\overline{\mathit{HK}}$ con $\overline{\mathit{BC}}$ y $\overline{\mathit{AC}}$ respectivamente, $P$ es el pie de la altitud desde $A$ y $Q$ es el pie de la altitud desde $B$ .

Agradecería una explicación a esta afirmación. Sé que $\overline{\mathit{CH}} \cong \overline{\mathit{CR}} \cong \overline{\mathit{CK}}$ y $\mathrm{m}\angle\mathit{HCK} = 2 \cdot \mathrm{m}\angle{C}$ . (Dudo que esto sea relevante - $\mathrm{m}\angle{A} = \mathrm{m}\angle\mathit{CAK}$ y $\mathrm{m}\angle{B} = \mathrm{m}\angle\mathit{CBH}$ .)

Answer 1

Desde $$\angle CRQ = \angle QKC = \angle QHC$$ tenemos el cuadrilátero cíclico $QRHC$ . Pero $B$ también está en este círculo ya que $HCRB$ también es cíclico (porque $\angle CHB + \angle CRB = 90+90 = 180$ ). Así que $BQ\bot AC$ .