Distancia entre el punto y la línea en el plano complejo

Question

Dejemos que $a,b$ sean números complejos fijos y que $L$ sea la línea $$L=\{a+bt:t\in\Bbb R\}.$$ Dejemos que $w\in\Bbb C\setminus L$ . Calculemos $$d(w,L)=\inf\{|w-z|:z\in L\}=\inf_{t\in\Bbb R}|w-(a+bt)|.$$ La primera observación es $$d(w,L)=\inf_{t\in\Bbb R}|w-(a+bt)|=\inf_{t\in\Bbb R}|(w-a)-bt|=d(w-a,L-a).$$ Así que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a=0$ Así que $$L=b\Bbb R.$$ Y entonces, supongamos que $|b|=1$ .

Supongamos que $$b=x+iy,\qquad x,y\in\Bbb R,$$ y que $$b'=y-ix.$$ para que $b'\bar{b}$ es puramente imaginario y $|b'|=|b|=1$ .

Considere la línea $$L'=w+b'\Bbb R.$$ Entonces $L$ y $L'$ son ortogonales y como $w=w+b'\cdot 0$ obtenemos $w\in L'$ . Sea $w'$ el punto en el que se encuentran estas líneas. Vamos a calcularlo $$\begin{align*} w+b's &= bs\\ s &= \frac{w}{b-b'}. \end{align*}$$ así que $w'=w+b's$ . La distancia $d(w,L)$ debe lograrse en $w'$ (porque $L'$ es la línea perpendicular a $L$ a través de $w$ ), por lo que $$d(w,L)=|w-w'|=|b's|=1|s|=\left|\frac{w}{b-b'}\right|=\frac{|w|}{|b-b'|}.$$ Calculemos $|b-b'|$ $$|b-b'|^2=|x+iy-(y-ix)|^2=(x-y)^2+(x+y)^2=2|b|^2=2$$ por lo tanto $$d(w,L)=\frac{|w|}{\sqrt{2}}.$$ Lo que acabo de demostrar es equivalente a decir que el triángulo con vértice $0$ , $w$ , $w'$ es un rectángulo isósceles, independientemente de la línea que pasa por el origen y la $w$ . Por supuesto que esto es absurdo pero,

¿Qué hay de malo en lo anterior?

Answer 1

Al calcular el punto de encuentro de los puntos, se establece $w+b's=bs$ . Esto es un error, debe establecer que $w+b's=bt$ donde $s$ no es necesariamente igual a $t$ pero ambos son reales. El punto que se calcula es un punto equidistante de $0$ y $w$ de distancia $|s|$ . Porque, por ejemplo, $$d(w,w+b's) = |b's|=|s|=|bs|=d(0,bs).$$

Tenga en cuenta que hacerlo a su manera original, $s$ no es necesariamente real, por lo que el punto puede no estar en ninguna de las dos líneas. (¡Y probablemente no lo haga!)

Nota: Para resolver $w+b's=bt$ , igualar las partes reales e imaginarias para obtener un par de ecuaciones simultáneas a resolver.

Además, hacer el problema de esta manera parece un poco complicado. Además, afirmas que la distancia se minimiza conectando $w$ a $L$ perpendicularmente, lo que debe ser demostrado rigurosamente. Una forma mucho más rápida es calcular simplemente $$\inf_{t\in\mathbb{R}}\{|w-bt|\}=\inf_{t\in\mathbb{R}}\{((w_1-xt)^2+(w_2-yt)^2)^\frac12\}$$ que se consigue encontrando el valor de $t$ minimizando la función $$f(t) = (w_1-xt)^2+(w_2-yt)^2,$$ que es una cuadrática.

Answer 2

" $w + b's = bs$ "¿Es este su problema? La solución a esto no te dice dónde se encuentran las líneas. Porque $|b| = |b'| = 1$ , de hecho sólo estás encontrando un punto $w'$ eso es una distancia $s$ lejos de $w$ (en la dirección $b'$ ) y una distancia $s$ lejos de $0$ (en la dirección $b$ ). No es de extrañar $(0, w, w')$ es isósceles y en ángulo recto.

Answer 3

$\renewcommand\Im{\operatorname{Im}}\renewcommand\Re{\operatorname{Re}}$ En aras de la exhaustividad, terminemos la derivación de la fórmula.

Seguiré la notación utilizada en mi pregunta.

Pensemos en $\Bbb C$ como un espacio de producto interno real con producto interno $$\langle z,w\rangle=\Re (z\bar{w}).$$

Del hecho $\langle z,w\rangle=0$ y que la dimensión de $\Bbb C$ como espacio vectorial sobre $\Bbb R$ es 2, se deduce que $$L^\perp=b'\Bbb R.$$

Así, $\Bbb C=L^\perp\oplus L$ es decir, hay $s,t$ números reales tales que $$\begin{align*} w &= b's+w'\\ &= b's+bt. \end{align*}$$

Calculemos la proyección ortogonal $w'=bt$ de $w$ en $L$ . Se sabe que $$|w-w'|\leq |w-z|\quad\forall z\in L.$$

Supongamos que $$w=w_1+iw_2\quad w_1,w_2\in\Bbb R.$$

Entonces, desde $$w_1+iw_2=(y-ix)s+(x+iy)t$$ obtenemos el sistema $$\begin{cases} ys+xt = w_1\\ -xs+yt = w_2 \end{cases}$$ Usando la regla de Cramer: $$s=\dfrac{\begin{vmatrix} w_1 & x\\ w_2 & y\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y & x\\ -x & y\end{vmatrix}}=\frac{w_1y-w_2x}{|b|^2}=\frac{w_1y-w_2x}{1}=-\Im (w\bar{b}).$$

Por lo tanto, $$w'=w-b's=w+b'\Im (w\bar{b}).$$ Así que $$d(w,L)=|w-w'|=|-b'\Im (w\bar{b})|=|b'||\Im (w\bar{b})|=|\Im (w\bar{b})|.$$

Ahora, si consideramos $L$ en su forma general $L=a+b\Bbb R$ obtenemos $$d(w,L)=\left|\Im \left((w-a)\bar{b}\right)\right|.$$